Pression de Laplace

Pour les articles homonymes, voir Laplace.

La loi de Laplace est une loi liant la courbure locale de l'interface séparant deux milieux à la différence de pression (aussi appelée pression de Laplace) entre ces deux milieux. La loi de Laplace est parfois appelée équation de Laplace-Young.

Deux milieux non miscibles sont séparés par une interface. Dès que cette interface est courbée, il y a une différence de pression entre les deux milieux. Ainsi, la pression est plus grande dans une goutte de pluie ou dans une bulle de savon que dans l'atmosphère qui l'entoure. Cette différence de pression dépend essentiellement de la tension de surface, qui mesure l'énergie nécessaire à la création d'une interface.

Formule classique

Lorsqu'il n'y a pas transfert de matière au travers de l'interface, que la tension superficielle est constante et que les deux milieux sont au repos, la différence de pression entre ces deux milieux a et b s'écrit :

$\qquad P_b-P_a = \gamma \cdot \mathrm{div_s}\left(\vec{n}\right)=\gamma C$

où

• P_a et P_b sont les pressions dans les milieux a et b au niveau de l'interface en pascals;
• γ est le coefficient de tension superficielle en newtons par mètre ;
• $\vec{n}$ est le vecteur normal (unitaire) à la surface dirigé vers le milieu a.
• C est la courbure moyenne de l'interface en mètre, positif lorsque le centre de courbure est du côté du milieu a.
• div_s est l'opérateur divergence appliqué le long de l'interface.

La loi s'écrit :

$\qquad P_2 - P_1 = \gamma \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$

où R₁ et R₂ sont les deux rayons de courbure principaux de la surface au point considéré. Ces deux rayons de courbures principaux existent pour la plupart des surfaces mais pas toutes.

La goutte sphérique

Dans le cas particulier d'une goutte sphérique, les deux rayons de courbure principaux, R₁ et R₂ sont égaux et identiques au rayon de la goutte. Cette loi peut alors s"écrire plus simplement :

$\qquad P_2 - P_1 = \frac{2\gamma}{R}$

où

• P₁ est la pression du côté extérieur (convexe) en pascals ;
• P₂ est la pression du côté intérieur (concave) en pascals ;
• γ est la tension superficielle à la limite de séparation en newtons par mètre ;
• R est le rayon de la goutte.

La bulle de savon

La pression de Laplace est à l'origine de la sphéricité des bulles de savon : la pression est uniforme dans la bulle ce qui lui donne sa forme sphérique. Pour calculer la pression dans la bulle de savon, il faut prendre en compte le fait qu'il y a deux interfaces : une interface air/liquide puis une interface liquide/air. La différence de pression entre l'intérieur et l'extérieur est donc doublée. On en déduit :

$\qquad P_2 - P_1 = \frac{4\gamma}{R}$

• P₁ est la pression atmosphérique en pascals ;
• P₂ est la pression dans la bulle en pascals ;
• γ est la tension superficielle à la limite de séparation en newtons par mètre ;
• R est le rayon de la bulle.