Polynôme formel

En algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aXⁿ), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X]. Les règles de notation de l'addition et de la multiplication ne sont pas modifiées dans la nouvelle structure, ainsi X + X est noté 2.X, ou encore X.X est noté X². Des exemples de polynômes formels sont :

$X^2 + 2X + 1,\quad 3X^3 + 4X + 5$

L'ensemble A, utilisé pour bâtir la structure A[X], peut être composé de nombres, mais ce n'est pas indispensable. On lui demande seulement de supporter deux opérations, l'addition et la multiplication. Si ces deux opérations possèdent certaines propriétés comme l'associativité, la commutativité et la distributivité de la multiplication sur l'addition, on dit que A est un anneau commutatif. On lui demande souvent de posséder un élément neutre pour la multiplication. Seul ce cas est traité dans cet article. Parfois, A possède des propriétés encore plus fortes, comme par exemple d'être un corps commutatif, ce qui signifie que tout élément différent de 0 est inversible pour la multiplication, à l'image des rationnels ou des réels. Dans ce cas, en plus de l'addition et de la multiplication, la structure A[X] possède une division euclidienne, à l'image de l'anneau des entiers et il devient possible d'utiliser les techniques de l'arithmétique élémentaire pour travailler sur les polynômes formels. L'identité de Bézout s'applique, comme le lemme d'Euclide ou le théorème fondamental de l'arithmétique. Il existe un équivalent des nombres premiers constitué par les polynômes unitaires irréductibles. Quelle que soit la nature de l'anneau commutatif et unitaire A, la structure A[X] possède au moins les caractéristiques d'un anneau commutatif. On parle d'anneau des polynômes formels.

Le polynôme formel est un des outils à la base de l'algèbre. Initialement, il était utilisé pour résoudre des équations dites algébriques. Résoudre l'équation algébrique revient à répondre à la question : par quelle valeur doit-on remplacer X pour que l'expression obtenue soit égale à 0 ? Une solution est appelée racine du polynôme. Le polynôme formel est maintenant utilisé dans de vastes théories comme la théorie de Galois ou la géométrie algébrique et qui dépassent le cadre de la théorie des équations.

De même que l'anneau A peut être étendu à une structure plus vaste A[X], l'anneau des polynômes à une indéterminée peut encore être étendu, soit par un anneau à plusieurs indéterminées, soit par le corps des fractions rationnelles, soit par l'anneau des séries formelles.

Dans toute la suite de l'article, A désigne un anneau intègre, K un corps commutatif, Z l'anneau des nombres entiers, R le corps des nombres réels et C celui des nombres complexes.

Préambule

Approche intuitive

Une manière simple de concevoir un polynôme formel est d'ajouter une lettre X, à un ensemble de nombres comme Z, ou R. Cette lettre ne possède aucune relation algébrique avec les nombres, les seules choses que l'on peut écrire sont des égalités comme X + X = 2.X, ou encore X.X = X². Sur l'ensemble obtenu, on souhaite que l'addition et la multiplication disposent des mêmes propriétés que celles qu'elles avaient dans l'ensemble de nombres et qui sont formalisées sous le nom d'anneau. Les identités remarquables sont toujours vérifiées, ainsi, si a désigne un nombre quelconque :

$(X + a)^2 = (X + a)(X + a)= X(X+a) + a(X+a)=X^2 + aX + aX + a^2 = X^2 + 2aX + a^2\;$

Un polynôme formel est une expression comportant un nombre fini de termes, tous composés de la même manière, le produit d'un nombre et d'une puissance de X. Un tel terme est appelé un monôme, le nombre le coefficient du monôme et la puissance de X le degré du monôme. Le polynôme 5X² + 3X + 4, contient un monôme de degré 2 et de coefficient 5. Dans le cas général, un polynôme formel P quelconque prend la forme suivante, si a_i désigne un nombre et i est un entier variant de 0 à n :

$P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\cdots + a_1X + a_0$

Les additions se font comme pour les nombres usuels, ainsi aXⁿ + bXⁿ est égal à (a + b)Xⁿ. La multiplication suit aussi les mêmes règles, auxquelles on ajoute la loi : Xⁿ.X^m = X^n+m qui implique que (Xⁿ)^m = X^m.n, si n et m désignent deux entiers positifs.

Fragments d'histoire

Article détaillé : Histoire des polynômes.

L'idée d'ajouter une lettre à un ensemble de nombres pour résoudre une question qui se formalise sous la forme d'une équation est ancienne. On la trouve chez Diophante dès le III^e siècle, il donne à la lettre S le même sens que notre X dans son pré-langage symbolique^[1] et l'a qualifie de quantité indéterminée d'unités. Il définit^[2] ensuite les mécanismes opératoires de l'addition et de la multiplication d'une expression contenant sa lettre S. Sa motivation est la recherche de solutions d'équations dites diophantiennes où les coefficients ainsi que les solutions recherchées sont des nombres entiers ou rationnels^[3]. Cette idée est reprise par les mathématiciens arabes qui généralisent l'étude aux cas où les solutions ne sont pas rationnelles^[4]. L'indéterminée chez eux prend le nom de say' et signifie la chose que l'on recherche. On leur doit la lettre X provenant du mot gizr' et qui signifie racine, le nom maintenant donné à une solution de l'équation polynomiale. Certaines méthodes^[5] sont développées, comme la dérivation formelle d'un polynôme dès le XII^e siècle

Cette formulation est reprise par François Viète, un mathématicien du XVI^e siècle qui invente le terme de polynôme^[6] et qui l'étudie toujours sous l'angle de l'équation. Un siècle plus tard, le formalisme du polynôme est modifié, le polynôme n'est plus une expression à laquelle on a ajouté une lettre X, qui se comporte comme un nombre; mais une fonction, qui à un nombre associe un nombre, ce que l'on appelle maintenant une fonction polynôme, concept différent de celui du polynôme formel. Au XIX^e siècle, la nécessité du polynôme formel réapparaît. Dans son livre Disquisitiones arithmeticae, Carl Friedrich Gauss factorise le polynôme cyclotomique pour trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas. Il utilise des polynômes à coefficients dans des corps finis, nécessitant impérativement le concept de polynôme formel^[7], remis ainsi à l'honneur.

Jusque dans les années 1940, le formalisme change peu, le terme d'indéterminée désigne toujours la lettre X ajouté à un ensemble de nombre et, si les notations ont évolué, le formalisme reste celui élaboré par Viète. Maintenant, différentes constructions permettent de définir l'indéterminée comme un véritable objet mathématique et non plus comme une lettre, les polynômes sont construits rigoureusement. Durant l'époque charnière, Claude Chevalley écrit dans un texte préparatoire à la première édition du chapitre II Éléments de mathématique de Bourbaki de 1942 : « On dit souvent que l'on a introduit n "lettres" X₁...X_n, il est alors tacitement admis que ces lettres sont des symboles pour des éléments d'une certaine algèbre. »^[8]. Maintenant, le terme indéterminée ne désigne plus que rarement la lettre qui le symbolise, mais l'élément lui-même, même si les constructions varient^{[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17]}.

Anneau des polynômes

Écriture d'un polynôme

Article détaillé : Construction de l'anneau des polynômes.

Pour construire rigoureusement l'anneau des polynômes A[X], il faut définir « le polynôme X appelé indéterminée »^[18], cette partie est traité dans l'article détaillé. Pour écrire un polynôme sous sa forme générale, il faut disposer d'un nombre fini d'éléments de A, par exemple a₀, a₁, a₂, ..., a_k, ..., a_n, tel que a_n est différent de 0. On peut écrire le polynôme P sous les deux formes suivantes :

$P = a_0 + a_1X + a_2X^2 + \cdots + a_kX^k + a_nX^n = \sum_{k=0}^n a_k X^k$

Égalité de deux polynômes — Deux polynômes sont égaux si, et seulement si, la suite de leurs coefficients sont égaux. En particulier un polynôme est nul si, et seulement si, la suite de ses coefficients est nulle^[19].

Un monôme est un terme de la forme a.X^p, constitutif du polynôme, a est appelé le coefficient du monôme et p son degré. Le plus grand degré des monômes à coefficients non nuls, ici n, est appelé le degré du polynôme, sauf si le polynôme est nul, on dit alors que son degré est moins l'infini. Le plus petit degré des monômes à coefficient non nuls est appelé la valuation du polynôme, sauf si le polynôme est nul, on dit alors que sa valuation est plus l'infini^[20].

Opération sur les polynômes

Article détaillé : Construction de l'anneau des polynômes.

L'ensemble des polynômes A[X] ressemble à bien des égards à celui des entiers. Les deux ensembles sont équipés de deux opérations : l'addition et la multiplication et ces opérations vérifient des propriétés regroupées sous le nom d'axiomes et définissant une structure dite d'anneau. L'élément neutre de l'addition est le polynôme constant 0 et si A contient un élément neutre pour la multiplication, généralement noté 1, l'élément neutre de A[X] pour la multiplication est le polynôme constant 1. L'expression polynôme constant signifie qu'il s'exprime uniquement à l'aide d'une constante et sans monôme de degré strictement supérieur à 0.

L'analogie va plus loin M. Delord remarque^[21] que l'écriture décimale positionnelle du nombre 3021 s'écrit aussi 3.10³ + 2.10¹ + 1. Cette écriture possède des analogies avec le polynôme 3X³ + 2X + 1. La valeur 10 a été remplacée par l'indéterminée. Cette analogie est flagrante si l'on cherche à additionner 3021 avec 21. Les coefficients des différentes puissances de 10 s'additionnent entre eux comme les coefficients des puissances de l'indéterminée. Dans un cas on trouve 3.10³ + 4.10¹ + 2 et dans l'autre 3X³ + 4X + 2. Une multiplication des deux nombres et des deux polynômes donnent encore des résultats semblables :

$6\cdot 10^4 + 3\cdot10^3 + 4\cdot 10^2 + 4\cdot 10 + 1\quad\text{et}\quad 6X^4+3X^3+4X^2 + 4X + 1$

L'analogie n'est pas totale, sa limite apparaît si une retenue se présente dans les opérations. Les mécanismes de retenues dans l'addition et la multiplication des entiers en système décimal ne sont pas les mêmes que pour les polynômes.

La somme de deux monômes de même degré est un monôme de même degré et de coefficients la somme de deux coefficients :

$(1 + 2X + 3X^2) + (3X + 4X^2 + 5X^3) = 1 + 5X + 7X^2 + 5X^3,\quad \sum_{k=0}^n a_k X^k + \sum_{k=0}^n b_k X^k = \sum_{k=0}^n (a_k + b_k) X^k$

La multiplication est un peu plus difficile, elle s'appuie sur la règle, si n et m sont deux entiers positifs : Xⁿ.X^m = X^n+m. On peut prendre un exemple, issu d'une identité remarquable :

$(X + 3)^2 = (X + 3)(X + 3)= X(X + 3) + 3(X + 3)= X^2 + 3X + 3X + 9 = X^2 + 6X + 9\;$

Dans le cas général, on obtient :

$\left(\sum_{i=0}^n a_iX^i\right)\left(\sum_{j=0}^m b_jX^j\right) = \sum_{k=0}^{n+m} \left(\sum_{i+j = k}a_ib_j\right)X^{k}$

Le degré du produit de deux polynômes est la somme des degrés des deux polynômes. C'est pour que cette règle soit toujours vérifiée que le degré du polynôme nul est défini comme égal à moins l'infini^[22]. Ces propriétés sont explicitées et démontrées dans l'article détaillé.

Division euclidienne

Article détaillé : Division d'un polynôme.

Si tous les éléments non nuls de l'anneau commutatif A sont inversibles comme pour Q, R ou C, on dit que A est un corps commutatif, noté ici K. L'ensemble des polynômes à coefficients dans K est alors équipé d'une division :

Division euclidienne — Soit A et B deux polynômes à coefficients dans un corps K. Si B est non nul, il existe un unique couple de polynômes (Q, R) à coefficients dans K tel que A soit égal à B.Q + R et que le degré de R soit strictement plus petit que celui de B.

Une autre division, appelée division selon les puissances croissantes, existe. Elle est développée dans l'article détaillé.

Arithmétique

Article détaillé : Arithmétique des polynômes.

La division euclidienne est à l'origine des résultats de l'arithmétique élémentaire sur les entiers. Elle permet de démontrer l'identité de Bézout, qui indique que si a et b n'ont pas de diviseurs communs autres que 1 et -1, il existe deux entiers p et q tel que ap + bq = 1. La division euclidienne sur les polynômes à coefficients dans un corps commutatif montre l'équivalent :

Identité de Bézout pour les polynômes — Deux polynômes P et Q à coefficients dans un corps K sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux polynômes A et B tels que :

$A\cdot P + B\cdot Q = 1$

Deux polynômes sont dits premiers entre eux lorsque les seuls diviseurs communs sont les polynômes constants non nuls. L'identité de Bézout permet de montrer le lemme d'Euclide, qui indique que si P est un polynôme irréductible qui divise un produit de polynômes A.B, il divise soit A, soit B. Enfin, dans l'univers des polynômes, l'équivalent des nombres premiers sont les polynômes irréductibles et unitaire, ce qui permet d'exprimer un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique :

Décomposition en facteurs premiers — Un polynôme non nul, à coefficients dans K, se décompose de manière unique en un produit, composé d'un polynôme constant et d'un produit de polynômes unitaires irréductibles.

Les résultats sur les plus petits communs multiples et les plus grands communs diviseurs s'appliquent exactement comme pour les entiers.

S'il existe des coefficients non nuls et non inversibles, l'arithmétique est un peu différente, elle est traitée dans l'article détaillé.

Factorisation

Équation algébrique

La question à l'origine de la découverte du polynôme est celle de l'équation. Pendant près de 1.000 ans, cette question et les méthodes pour y parvenir représentaient l'essentiel de l'algèbre^[23]. Si P est un polynôme à coefficients dans le corps K, noté :

$P = a_n X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0$

La question revient à trouver les valeurs x_i, appelées racines, telles que l'expression suivante soit nulle :

$a_n x_i^n + a_{n-1}x_i^{n-1} + \cdots + a_1x_i + a_0 = 0$

Bien avant la formalisation moderne de la notion de fonction, on avait remarqué que remplacer l'indéterminée par une valeur donne le même résultat dans toutes les expressions de P. Si k est un élément de K, souvent un nombre, il est possible de diviser P par le polynôme X - k. Le reste est un polynôme constant c, car de degré strictement inférieur à celui de X - k. On obtient une nouvelle expression de P, à savoir P = Q.(X - k) + c.

Substituer la valeur k à l'indéterminée X donne le même résultat dans l'expression de droite et de gauche. Si c est non nul, k n'est pas racine car l'expression est égale à c. En revanche si c est nul, alors k est racine.

Racine et factorisation d'un polynôme — Soit P un polynôme à coefficients dans le corps K, un nombre r est racine du polynôme P si, et seulement si le polynôme X - r divise le polynôme P

Vue sous l'angle arithmétique, la recherche des racines d'un polynôme est équivalente à la recherche des facteurs du premier degré de P. Ces facteurs sont nécessairement irréductibles, le produit de deux polynômes non constants n'est en effet jamais de degré 1, car le produit de deux polynômes est de degré la somme des degrés des deux polynômes. Résoudre une équation revient à trouver les facteurs irréductibles d'un type particulier, ceux du premier degré. On retrouve un problème déjà connu en arithmétique.

L'intégralité des méthodes de résolutions algébriques d'une équation peuvent être vues comme une factorisation du polynôme en éléments irréductibles du premier degré. La méthode classique de l'équation du second degré se résume finalement à cela. On peut en déduire un premier résultat.

Proposition — Un polynôme à coefficients dans K n'admet jamais plus de racines que son degré.

Démonstration de la proposition

Si le polynôme P ne comporte, dans sa décomposition en facteurs irréductibles, que des polynômes du premier degré, alors une analyse sur le terme du plus haut degré indique que P contient autant de facteurs que son degré, noté ici n. Ainsi un polynôme P ne peut contenir plus de facteurs du premier degré que son degré. Dans le cas général, P est le produit d'un polynôme qui n'est pas divisible par un polynôme du premier degré et de m facteurs du premier degré avec m plus petit que n, ce que l'on peut écrire :

$P = Q\cdot(X -r_1)\cdots (X- r_m)$

Le polynôme Q est irréductible, ainsi si l'on remplace dans son expression l'indéterminée par une valeur k quelconque, on ne trouve jamais 0, sinon X - k diviserait Q. Comme le produit de nombres non nuls n'est jamais nul, pour que le produit de droite soit nul quand on remplace l'indéterminée par une valeur k, il faut qu'un des facteurs soit nul c'est-à-dire égal à l'un des r_j, ce qui démontre la proposition.

 

Polynômes irréductibles à coefficients dans C, R et Q

Selon le choix du corps des coefficients, les polynômes irréductibles n'ont pas la même forme. Considérons le polynôme P égal à X⁵ - X⁴ - 4X + 4. Rechercher ses facteurs irréductibles du premier degré revient à résoudre l'équation polynomiale associée. Si cette équation est étudiée dans C, le théorème fondamental de l'algèbre indique l'existence d'au moins une racine. Dans le cas particulier étudié on trouve la racine évidente 1, et une division euclidienne montre que :

$P = (X^4 - 4)(X-1)\;$

Le polynôme P s'écrit comme le produit de deux polynômes dont un du premier degré. L'usage du même théorème montre que l'autre polynôme possède au moins une racine, ce qui indique l'existence d'un autre facteur du premier degré. De proche en proche on factorise P en polynômes du premier degré. En pratique une identité remarquable appliqué 3 fois permet la factorisation de l'exemple étudié :

$P = (X- \sqrt 2)(X + \sqrt 2)(X- i\sqrt 2)(X + i\sqrt 2)(X-1)\;$

Et dans le cas général :

Polynôme irréductible dans C — Les seuls polynômes à coefficients dans le corps des nombres complexes irréductibles, sont ceux du premier degré.

La même équation sur R donne des résultats différents. Le terme i, désignant l'unité imaginaire, n'existe pas. La factorisation donne :

$P = (X^2 + 2)(X- \sqrt 2)(X + \sqrt 2)(X-1)\;$

Il est aisé de se rendre compte que le premier facteur est irréductible. Remplacer l'indéterminée par une valeur donne toujours un nombre plus grand que 2, le polynôme X² + 2 ne contient aucun diviseur du premier degré et, comme il est de degré 2, il est nécessairement irréductible. Dans le cas général :

Polynôme irréductible dans R — Les seuls polynômes irréductibles à coefficients réels, sont ceux du premier degré et ceux du deuxième degré ayant un discriminant strictement négatif.

Dans Q, l'exemple choisi montre qu'il n'existe qu'un seul facteur du premier degré, car la racine de 2 n'est pas un nombre rationnel. Les polynômes irréductibles à coefficients dans Q sont beaucoup plus variés, on en trouve de tous les degrés, comme le montre le critère d'Eisenstein.

Polynômes irréductibles à coefficients dans R

• Un polynôme irréductible et à coefficients dans R est de degré 1 ou 2

Considérons un polynôme P à coefficients dans R de degré strictement supérieur à 2, on va montrer qu'il n'est pas irréductible. On le note :

$P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0\;$

Le théorème fondamental de l'algèbre indique que ce polynôme admet au moins une racine r, s'il est considéré comme un polynôme à coefficients dans C. Si cette racine est réelle, le polynôme X - r divise P, et P n'est pas irréductible. Sinon, cette racine vérifie l'égalité, dans C :

$a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_0 = 0\;$

Le conjugué de tout élément de R, considéré comme un élément de C est égal à lui-même. En appliquant l'application conjuguée à la dernière égalité, on obtient :

$a_n\bar r^n + a_{n-1}\bar r^{n-1} + \cdots + a_0 = 0\;$

On en déduit que le conjugué de r, nécessairement différent de r car r n'est pas réel, est aussi une racine de P, considéré comme un polynôme complexe. On en déduit que les deux polynômes unitaires du premier degré et de racines r et son conjugué, divise P. Leur produit Q, égal à X² + |r|² divise aussi P dans C. La division euclidienne de P par Q dans l'anneau des polynômes à coefficients dans R peut aussi être vue comme la division euclidienne de P par Q dans C[X]. Comme le résultat d'une division euclidienne est unique, ces deux divisions sont les mêmes dans R[X] et dans C[X]. Comme le reste est nulle dans C[X], il est aussi nul dans R[X] et Q divise P dans R. Ce qui montre que P n'est pas irréductible et termine la démonstration.

 

Coefficients et racines

Article détaillé : Relations entre coefficients et racines.

À condition d'accepter d'élargir l'ensemble de nombres, pour les configurations classiques comme les nombres rationnels, réels ou complexes, il est toujours possible de factoriser un polynôme P. Cela donne deux manières d'écrire P. En utilisant les mêmes notations que précédemment :

$P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0 = a_n(X - r_1)(X - r_2)\cdots (X -r_n)$

Ici r _k pour k variant de 1 à n, désigne les différentes racines du polynôme P. Les valeurs que prennent les r _k peuvent être semblables, on parle alors de racines multiples. La décomposition correspond à celles des facteurs premiers de P, la constante a_n supposée non nulle, correspond à l'élément du groupe des unités, sa valeur est celle du coefficient du monôme dominant.

Dans le cas du polynôme unitaire du deuxième degré, l'égalité devient :

$P = X^2 + a_1X + a_0 = (X - r_1)(X - r_2)\;$

Le développement du terme de droite donne les relations :

$(X - r_1)(X - r_2)= X^2 -(r_1+r_2)X + r_1r_2 = X^2 + a_1X + a_0 \quad\text{et}\quad a_1 = -(r_1+r_2),\quad a_2 = r_1r_2$

Cette factorisation donne une relation entre les coefficients et les racines. Elle se généralise.

Si l'on remplace maintenant r₁ et r₂ par deux indéterminées X et Y, on obtient deux polynômes X.Y et X+Y dit symétriques. Un polynôme à plusieurs indéterminées est dit symétrique si une permutation des indéterminées ne modifie pas le polynôme. Ainsi X.Y est symétrique, mais X² + Y ne n'est pas. Pour générer des polynômes symétriques à n variables, il suffit d'utiliser ce procédé avec un polynôme de degré n. On obtient exactement n polynômes symétriques. Tous les polynômes symétriques s'obtiennent par combinaison linéaires de produits de ces n polynômes symétriques.

Algèbre linéaire

Espace vectoriel

L'anneau A est identifié aux polynômes constants de A[X]. Ceci permet de définir une nouvelle opération sur A[X], une multiplication externe, qui à un nombre a et à un polynôme P associe le polynôme a.P. Le polynôme a.P est égal au produit du polynôme a, vu comme un polynôme constant et du polynôme P.

Si A est un corps K, comme R ou C, il existe une multiplication externe de KxK[X] dans K[X]. La structure K[X] possède maintenant une addition et une multiplication externe. Ces deux opérations confèrent à K[X] une structure d'espace vectoriel. Il est en effet rapide de vérifier que tous les axiomes d'un espace vectoriel sont bien vérifiés. La famille (Xⁿ) si n décrit l'ensemble des entiers positifs joue un rôle particulier. Par construction, elle est génératrice de K[X], elle est aussi libre car une combinaison linéaire de cette famille n'est nulle que si tous les coefficients sont nuls et la famille forme une base :

Base canonique — La famille (Xⁿ) des puissances de l'indéterminée pour n décrivant l'ensemble des entiers positifs est une base de K[X] appelée base canonique.

Si A n'est pas un corps, A[X] possède une structure un peu analogue, appelé module sur l'anneau A. Un sous-espace vectoriel particulier est celui composée des polynômes de degré inférieur ou égal à un entier positif p. Par définition, il possède comme base (1, X, ..., X^p) contenant p + 1 éléments, c'est donc un sous-espace de dimension p + 1^[24].

La structure d'espace vectoriel de A[X] s'ajoute à la structure d'anneau pour former une structure d'algèbre. L'ensemble A[X] est alors muni de 3 opérations, une addition, une multiplication et une multiplication externe sur le corps K. Sur les trois opérations, les axiomes de la structure d'algèbre sont tous vérifiés.

Substitution et fonction polynômiale

Comme le fait remarquer l'encyclopédie Encarta « Le mot polynôme désigne en fait deux entités mathématiques distinctes : le polynôme formel et la fonction polynomiale. Cette dernière fournit la valeur prise par le polynôme lorsqu’on y remplace la variable x par une valeur numérique donnée^[25]. »

À partir d'un polynôme formel comme X² + 2X + 1, on peut construire une application, qui au polynôme associe une fonction f(x) définie par la donnée d'un domaine de définition Z l'ensemble des entiers et la définition : f(x) = x² + 2x + 1. Dans le cas général, il suffit d'indiquer l'ensemble de départ B, un anneau contenant les coefficients du polynôme, et de substituer l'indéterminée X par la variable x dans l'écriture du polynôme formel.

L'algébriste considère l'application Φ, de A[X] dans l'ensemble des fonctions polynômes de A définies sur un anneau B contenant A, qui à un polynôme formel associe sa fonction polynômiale. L'ensemble d'arrivée de Φ est par définition l'image de Φ, ce qui montre que l'application est surjective. L'application Φ possède des propriétés supplémentaires. Elle est par exemple compatible avec l'addition et la multiplication :

$\forall P, Q \in \mathbb A\quad \Phi(P + Q) = \Phi(P) + \Phi(Q)\quad\text{et}\quad \Phi(P\cdot Q) = \Phi(P)\cdot\Phi(Q)$

Ces deux propriétés possèdent un nom en mathématiques, on dit que Φ est un morphisme d'anneau.

Ici, l'addition et la multiplication de deux fonctions polynômes sont définies comme l'addition et la multiplication usuelles des fonctions. Dans le cas particulier où le polynôme P est une constante, c'est-à-dire s'il se résume à un monôme de degré 0 ou moins l'infini, on obtient :

$\forall P, Q \in \mathbb A\quad \forall \lambda \in A \quad \Phi(P + Q) = \Phi(P) + \Phi(Q)\quad\text{et}\quad \Phi(\lambda P) = \lambda \Phi(Q)$

On retrouve la définition de morphisme d'espace vectoriel, encore appelé application linéaire. Une application qui est à la fois un morphisme d'anneau et une application linéaire est qualifiée de morphisme d'algèbre, car l'application Φ est compatible avec toutes les opérations de l'algèbre.

Une propriété est encore manquante, l'application Φ est-elle toujours injective, la réponse n'est pas toujours vraie. Un premier cas se présente, si l'anneau A contient une copie de Z l'ensemble des entiers. C'est par exemple le cas de Q, R ou C. Dans ce cas là, l'application Φ est de fait injective. La démonstration est donnée à la suite de cet article dans le paragraphe Équation algébrique. Il existe d'autres cas où Φ n'est pas injective, par exemple celui où A est un corps fini. Quelques exemples sont donnés si A désigne l'anneau Z/nZ où n est un nombre premier. L'ensemble des polynômes formels est toujours infini, tous les polynômes Xⁿ sont distincts, et si n parcourt l'ensemble des entiers positifs, on obtient une infinité de polynômes distincts. En revanche, les fonctions polynômes forment un sous-ensemble des fonctions de A dans A, si A est un corps fini de cardinal p, il existe p^p fonctions distinctes et donc au maximum p^p fonctions polynômes au maximum. Comme il ne peut y avoir d'injection entre un ensemble infini vers un ensemble fini, l'application Φ n'est pas injective. Il existe quelques cas où Φ est injective :

Proposition — Si B contient une infinité d'éléments et est intègre, alors Φ est injective^[26].

Un anneau commutatif à au moins deux éléments est dit intègre si un produit de deux éléments a et b de l'anneau est nul uniquement si soit a soit b l'est. Dans de nombreuses situations, celles où les coefficients sont choisis dans les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe, cette proposition s'applique. En conséquence l'anneau des fonctions polynômes et des polynômes formels sont des copies l'un de l'autre et tous les résultats algébriques établis ici s'appliquent sur les fonctions polynômes.

Démonstrations

• Dans un corps fini, toute fonction est une fonction polynôme :

Pour l'étude des polynômes formels, l'application Φ est parfois utile. Quand les coefficients sont choisis dans un corps fini F_p, on a parfois besoin de connaître l'ensemble des fonctions polynômes et comment construire un polynôme prenant des valeurs précises. Cette question apparait par exemple pour la construction d'un code correcteur et particulièrement d'un code cyclique^[27].

Pour construire un polynôme P ayant les mêmes valeurs qu'une fonction f(x), on construit d'abord la fonction polynôme P₀(x), qui vaut 1 en 0 et 0 partout ailleurs, puis P_h(x) qui vaut 0 partout sauf en h ou il vaut 1 :

$P_0(x) = \prod_{k \in \mathbb F_p^*} (1 - k^{-1}x)\quad\text{et}\quad \forall h \in \mathbb F_p\quad P_h(x) = P_0(x-h)$

La fonction f(x) est égale à la combinaison linéaire des polynômes P_h(x) avec les coefficients f(h) quand h parcours le corps F_p.

• Si B contient une infinité d'éléments et est unitaire et intègre, alors Φ est injective :

Si B est un anneau unitaire et intègre, il est possible de construire son corps des fractions K et de considérer P comme un polynôme à coefficients dans K. Le polynôme P ne peut avoir plus de racine dans K que son degré par définition fini. Comme K ne n'est pas, il existe une valeur k tel que P(k) n'est pas nul si P n'est pas le polynôme nul. En conséquence, le noyau de l'application Φ est réduit au vecteur nul, ce qui montre que Φ est injectif.

 

Dérivée formelle

Définition

Il existe une application linéaire de A[X] parfois très utile, elle est appelée dérivée formelle. Comme toute application linéaire, elle est parfaitement définie par la connaissance de l'image d'une base.

Définition de la dérivée formelle^[28] — La dérivée formelle est l'application linéaire de A[X] dans lui même, qui à Xⁿ associe n.X^n-1.

On peut être surpris par une telle définition, l'élément n qui multiplie le monôme est un entier, alors que rien ne dit que A contienne l'ensemble des entiers. Le terme n indique en fait l'élément 1 + 1 +...+ 1 itéré n fois (si l'anneau A ne contient pas d'élément neutre pour la multiplication, l'application n'est pas définie, car X n'a pas d'image).

Si A est l'anneau des entiers ou le corps des nombres complexes, la dérivée formelle est le pendant de l'application dérivée dans le monde des polynômes formels. La définition présentée ici s'applique néanmoins à n'importe quel anneau de polynômes construit sur un anneau commutatif.

Si le polynôme P s'écrit de la manière habituelle, on a l'expression P' de sa dérivée formelle :

$P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0 \quad\text{et}\quad P' = na_nX^{n-1} + (n-1)a_{n-1}X^{n-2} + \cdots a_1$

Propriétés

On dispose de certaines propriétés élémentaires de la dérivée, le noyau de l'application linéaire est composée des polynômes constants, le degré de la dérivée d'un polynôme formel de degré n est strictement inférieur à n (égal à n - 1 en caractéristique nulle), en conséquence l'application n + 1 fois de la dérivée sur un polynôme de degré n est nulle. Enfin, si P et Q sont deux polynômes :

$(PQ)' = P'Q + PQ' \;$

Une autre propriété relie l'existence de racines multiples à la dérivée formelle, on dit qu'un polynôme à coefficient dans K est séparable si et seulement s'il admet autant de racines distinctes que son degré, dans au moins un corps L contenant K.

Critère de présence d'une racine multiple^[29] — Un polynôme, à coefficients dans K, est séparable si et seulement si lui et sa dérivée formelle sont premiers entre eux.

Le polynôme à coefficients dans Q, l'ensemble des nombres rationnels : X² + 2 est séparable, car il admet deux racines distinctes dans C le corps des nombres complexes, qui contient Q. Il est bien premier avec sa dérivée formelle, égal à 2X. On trouve la démonstration dans l'article Extension séparable.

Développement de Taylor

Dans l'univers des applications continues définies pour tout nombre réel et à valeurs réelles, deux fonctions ayant même dérivée ne diffèrent que par une constante. Ce résultat est une conséquence du théorème fondamental de l'analyse. Ce résultat ne se généralise pas toujours dans le monde des polynômes formels. Supposons que sur l'anneau A, l'itéré de l'addition de 1_A n fois soit égal à 0_A, on parle alors d'anneau de caractéristique n. Les dérivées des polynômes X_n + X et X sont égales : celui constant égal à 1. Pourtant ces deux polynômes ne diffèrent pas d'une constante. Cette situation ne se produit pas si l'anneau est de caractéristique 0, c'est-à-dire si quel que soit n, entier strictement positif le n^ième itéré de l'unité 1_A n'est pas nul.

Dans ce cas, le développement de Taylor s'applique encore sur les polynômes formels.

Développement de Taylor^[28] — Soit A un anneau intègre et de caractéristique 0, soit P un polynôme de A[X] de degré n et a un élément de A. La formule suivante, dite développement de Taylor, est vérifiée :

$P = \sum_{i=0}^n \frac {P^{(i)}(a)}{i!} (X-a)^i$

Cette formule mérite quelques explications, le terme P⁽ⁱ⁾(a) désigne l'élément de A obtenu en substituant a à l'indéterminée X. L'élément i ! désigne un itérée pour l'addition de l'unité de l'anneau, c'est exactement l'itéré de l'unité additionné avec elle-même factorielle i fois. La division n'est pas toujours définie sur A, en revanche le terme P⁽ⁱ⁾(a) est toujours un multiple de i !, et il existe un unique élément b_i de A tel que b_i.i ! soit égal à P⁽ⁱ⁾(a), ce qui permet de donner un sens au développement de Taylor.

Démonstration

Supposons, dans un premier temps que a soit égal à 0. Une simple récurrence montre que la constante du polynôme dérivée i ^ième est égal à a_i.i !. La dérivée i ^ième au point 0 est un multiple de i !. comme l'anneau A est intègre, il existe un unique élément de A tel que le produit de cet élément avec i ! soit égal à la dérivée i ^ième au point 0. On en déduit le résultat suivant, parfois appelé développement de Taylor-Young :

$P = \sum_{i=0}^n \frac {P^{(i)}(0)}{i!} X^i$

Soit Q le polynôme égal à P(X + a), la formule précédente devient :

$Q(X) = \sum_{i=0}^n \frac {Q^{(i)}(0)}{i!} X^i\quad\text{ou encore}\quad P(X + a) = \sum_{i=0}^n \frac {P^{(i)}(a)}{i!} X^i$

En remplaçant X + a par X, on obtient la formule annoncée.

 

Résultant, discriminant

Articles détaillés : Résultant et Discriminant.

Le résultant de deux polynômes est le déterminant d'une matrice construite à l'aide des deux polynômes. Ce déterminant est nul si, et seulement si, les deux polynômes sont premiers entre eux. Le discriminant d'un polynôme P est, à un facteur multiplicatif près, le résultant du polynôme et de sa dérivée, ce qui permet d'écrire que :

Discriminant — le discriminant d'un polynôme est nul, si, et seulement si, le polynôme admet au moins une racine multiple, dans son corps de décomposition.

Si a est le coefficient du monôme dominant, n le degré du polynôme et α _k, pour k variant de 1 à n, les racines du polynôme P, son discriminant Δ(P) est égal à :

$\Delta(P)=a^{2n-2}\prod_{i<j}{(\alpha_i-\alpha_j)^2}\,$

Le discriminant s'exprime aussi en fonction des coefficients du polynôme, l'expression est néanmoins complexe si n est élevé. Dans le cas de la dimension 2 et si le polynôme P s'écrit aX² + bX + c, on retrouve l'expression classique :

$\Delta(P)= b^2 -4ac \quad\text{ou encore}\quad \Delta(P) = a^2(\alpha_1 - \alpha_2)^2$

Ce qui permet de retrouver aisément les formules donnant les racines de l'équation en fonction des coefficients, sachant que l'opposé de la somme des racines est égal à b. Si n est strictement plus grand que 2, le discriminant n'offre pas de moyen simple d'exprimer les racines^[30].

Notes et références

Notes

1. ↑ L. Radford Diophante et l'algèbre pré-symbolique Bulletin AMQ (1991)
2. ↑ P. Ver Eecke Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones Desclée de Brouwer Liège (1926) p 3
3. ↑ Voir à ce sujet : P. Ver Eecke Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones Desclée de Brouwer Liège (1926) p 3
4. ↑ R. Rashed Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes Paris, Les Belles lettres (1984)
5. ↑ H. Bellosta indique : « Son successeur Sharaf al-Dîn al-Tûsî (xiie siècle) va étudier de façon plus rigoureuse les conditions d’existence de ces points d’intersection, dont l’abscisse détermine la racine positive demandée ; ceci va l’amener à se pencher sur des problèmes de localisation et de séparation des racines, l’obliger à définir la notion de maximum d’une expression algébrique (en introduisant la dérivée formelle d’un polynôme). Une autre innovation d’al-Tûsî consiste à traiter, en même temps que la résolution géométrique, la résolution numérique des équations du troisième degré. Il développe pour cela une variante de la méthode de Ruffini Horner. » :A propos de l'histoire des sciences arabes SMF Gazette n° 82 (1999)
6. ↑ C. Florian A History of Mathematics New York The Macmillan Co 1919 p 139
7. ↑ Carl Friedrich Gauss Disquisitiones arithmeticae 1801 (page 434 dans l'édition de 1807 traduite en français par Poullet-Delisle et publié aux éditions Jacques Gabay en 1989 (ISBN 2876470543)
8. ↑ C. Chevalley Algèbre Chapitre III Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki p 22
9. ↑ Même les textes très élémentaires présentent l'indéterminée comme un élément d'une structure d'algèbre et non plus comme une lettre Introduction aux polynômes par J. M. Sarlat (2001)
10. ↑ Dans les cours de classes préparatoire, l'indéterminée est défini comme le polynôme X, construit comme une suite : introduction à l'indéterminée Cours de MPSI
11. ↑ Un cours de classe préparatoire qui note l'indéterminée x et le définit comme la suite (0,1,0,...) Chapitre I anneau des polynômes
12. ↑ Les facultés suivent la même convention, l'indéterminée est un objet défini comme un polynôme particulier Polynôme par l'Université de Jussieu
13. ↑ Cette idée est appliquée au cas de plusieurs indéterminées. L'indéterminée est encore définie encore à partir d'une généralisation de la suite précédente Algèbre commutative A. Chambert-Loir Algèbre commutative p 18
14. ↑ Les livres d'algèbres suivent largement cette convention : M. Queysanne, Algèbre, Armand Colin, Col. U, 1964 p 413
15. ↑ Une présentation d'un niveau de premier cycle universitaire : J. L.-F. Lelong-Ferrand J.M. Arnaudiès Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre Dunod (ISBN 2100081977) (2003) p 139 (dans l'édition consulté de 1971)
16. ↑ Une autre technique est possible, elle correspond à une définition axiomatique, un peu à l'image de celle de Chevalley. C'est toujours celle que proposée dans les éléments de mathématiques : Algèbres, polynômes, algèbres de type fini par l'Université de Jussieu
17. ↑ N. Bourbaki Éléments de mathématique : Algèbre, chapitres 4 à 7 Dunod (1981) (ISBN 2225685746) chap 4
18. ↑ Cette citation est extraite de : iIntroduction à l'indéterminée Cours de MPSI
19. ↑ Cette propriété est explicitée dans le site : Polynôme par l'Université de Jussieu
20. ↑ Ces définitions proviennent de Chapitre I anneau des polynômes
21. ↑ Cet exemple est tiré du site : M. Delord Opérations arithmétiques et algèbre des polynômes Membre du (GRIP) groupe de réflexion interdisciplinaire sur les programmes
22. ↑ Cette présentation s'inspire du site : Introduction aux polynômes par J. M. Sarlat (2001)
23. ↑ A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales [détail des éditions] 
24. ↑ Chapitre I anneau des polynômes
25. ↑ Polynômes Par MSN Encarta
26. ↑ Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions] p 146
27. ↑ C. Bachoc Cours de code Université de Bordeaux
28. ↑ ^{a et b} D. J. Mercier L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques Vol. II Sciences Mathématiques p 300 (2006) (ISBN 2748330013)
29. ↑ A. Kraus Théorie de Galois Proposition 2.2 p. 12. Université de Jussieu, Cours de DEA.
30. ↑ Voir à ce sujet Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] Chap IV § 8

Liens externes

• J. M. Sarlat Introduction aux polynômes (2001)
• M. Bercovier Présentation de l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps Université de Jussieu
• R. Ferréol Polynôme Un cours de PCSI