Polynôme d'appell généralisé

Polynôme d'Appell généralisé

Définition

En mathématiques, une suite de polynômes $\{p_n(z)\,\}\,$ possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme suivante :

$K(z,w) = A(w)\Psi(zg(w)) = \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n$

où la fonction génératrice $K(z,w)\,$ est composée des séries :

• $A(w)= \sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad$ avec $a_0 \ne 0 \,$

• $\Psi(t)= \sum_{n=0}^\infty \Psi_n t^n \quad$ avec tous les $\Psi_n \ne 0 \,$

• $g(w)= \sum_{n=1}^\infty g_n w^n \quad$, avec $g_1 \ne 0.$

Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que $p_n(z)\,$ est un polynôme de degré $n\,$.

Cas particuliers

• Le choix de $g(w)=w\,$ donne la classe des polynômes de Brenke.

• Le choix de $\Psi(t)=e^t\,$ donne la suite des polynômes de Sheffer.

• Le choix simultané de $g(w)=w\,$ et de $\Psi(t)=e^t\,$ donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.

Représentation explicite

Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite

$p_n(z) = \sum_{k=0}^n z^k \Psi_k h_k.$

Le coefficient $h_k\,$ est

$h_k=\sum_{P} a_{j_0} g_{j_1} g_{j_2} \ldots g_{j_k}$

où la somme s'étend à toutes les partitions de n en k+1 parties — au sens large — c'est-à-dire en admettant la partie vide pour $\{j_0\}\,$ ; si bien que la somme comprend tous les $\{j\}\,$, nuls ou non, tels que $j_0+j_1+ \ldots +j_k = n\,$.

Pour les polynômes d'Appell, ceci devient la formule :

$p_n(z) = \sum_{k=0}^n \frac {a_{n-k} z^k}{k!}$

Relations de récurrence

De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau $K(z,w)\,$ puisse être écrit comme $A(w)\Psi(zg(w))\,$ avec $g_1=1\,$ est que

$\frac{\partial K(z,w)}{\partial w} = c(w) K(z,w)+\frac{zb(w)}{w} \frac{\partial K(z,w)}{\partial z}$

où $b(w)\,$ et $c(w)\,$ ont un développement en série

$b(w) = \frac{w}{g(w)} \frac {d}{dw} g(w) = 1 + \sum_{n=1}^\infty b_n w^n$

et

$c(w) = \frac{1}{A(w)} \frac {d}{dw} A(w) = \sum_{n=0}^\infty c_n w^n.$

En faisant la substitution :

$K(z,w)= \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n$

il vient immédiatement la relation de récurrence :

$z^{n+1} \frac {d}{dz} \left[ \frac{p_n(z)}{z^n} \right]= -\sum_{k=0}^{n-1} c_{n-k-1} p_k(z) -z \sum_{k=1}^{n-1} b_{n-k} \frac{d}{dz} p_k(z)$

Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a $g(w)=w\,$ et donc tous les $b_n=0\,$, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.

Références

• Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, « Polynomial Expansions of Analytic Functions » (Deuxième édition corrigée), (1964) Academic Press Inc., Publishers, New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.

• William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, « American Mathematical Monthly », (1945) 52 pp. 297-301.

• W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) « Duke Mathematical Journal », (1947) 14 pp 1091-1104.

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