Polynome sequentiel

Polynôme séquentiel

Un polynôme séquentiel est un polynôme dont les coefficients appartiennent tous à {-1, 1}.

Un tel polynôme peut donc se mettre sous la forme :

$P(X) = \sum_{i=0}^{l-1} a_iX^i$

où la suite des a_i s'écrit :

a = (a₀,...,a_{l − 1})

et est appelée « séquence ».

On dit que deux séquences a et b sont complémentaires lorsque :

$\forall j \in [1,l-1], \sum_{i=0}^{l-1-j} a_i a_{i+j} + b_i b_{i+j} = 0$

On appelle $\mathcal{L}$ l'ensemble des longueurs l pour lesquelles il existe des séquences complémentaires. Cet ensemble fait encore l'objet de recherches.

On peut lire dans le sujet du concours de Polytechnique PC-2006 :

Ces polynômes ont été introduits lors de recherches sur la spectroscopie multi-fentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en combinatoire, théorie des codes, analyse harmonique, et à de très nombreuses applications en optique, télécommunications, théorie des radars et acoustique.

Référence

• (en) Peter B Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, Springer (ISBN 0387954449) 

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