Percolation de premier passage

La percolation de premier passage a été introduite par John Hammersley et Welsh comme un modèle de propagation d'un fluide dans un média poreux. À chaque arête du graphe Z^d, on associe une variable aléatoire positive qui représente le temps nécessaire pour traverser l'arête. On peut alors définir le temps nécessaire pour suivre un chemin : c'est la somme des temps de passage des arêtes qui le composent. Le temps minimal pour aller d'un point x à un point y est la borne inférieure des temps des chemins qui vont de x à y.

Le résultat le plus célèbre concernant la percolation de premier passage est le suivant : si les temps de passages sont indépendants, distribués suivant une même loi ν intégrable telle ν({0}) < p_c(Z^d) et que l'on note B_t l'ensemble $\{x\in Z^d; d(0,x)\le t\}$ des points qui peuvent être atteints à partir de l'origine en un temps inférieur ou égal à t, alors l'ensemble renormalisé B_t / t converge presque sûrement vers un convexe compact déterministe qui est la boule unité associée à une certaine norme μ. La preuve de ce résultat repose essentiellement sur le théorème ergodique sous-additif.