Ouvertures rayonnantes

Ouverture rayonnante

Dualité des équations de Maxwell

Nous allons considérer deux espaces différents :

• dans le premier, il n'existe que des densités de courant électrique
• dans le second, il n'existe que des densités de courant magnétique

Notations

• $\vec{j}(\vec{r},t)$ le vecteur densité de courant (en A.m ^{− 2}).
• $\vec{H}(\vec{r},t)$ le vecteur champ magnétique (en A.m ^{− 1}).
• $\vec{A}(\vec{r},t)$ le potentiel vecteur électrique (en A.H).
• $\vec{m}(\vec{r},t)$ le vecteur densité magnétique de courant (en V.m ^{− 2}).
• $\vec{E}(\vec{r},t)$ le vecteur champ électrique (en V.m ^{− 1}).
• $\vec{F}(\vec{r},t)$ le potentiel vecteur magnétique (en V.F).
• $\epsilon_0\,$ la constante diélectrique du vide (en F.m ^{− 1}).
• $\mu_0\,$ la perméabilité magnétique du vide (en H.m ^{− 1}).
• R désignera le distance séparant le point d'obsevation de l'objet rayonnant (en m).

Equations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère

• $\nabla \times \vec{E} = - \vec{m} - \mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} = - \vec{m} - j \omega \mu_0 \vec{H}$
• $\nabla \times \vec{H} = \vec{j} - \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec j - j \omega \epsilon_0 \vec{E}$

Liens entre ces deux espaces

Espace avec $\vec{j}$ ($\vec{m}=\vec{0}$)	Espace avec $\vec{m}$ ($\vec{j}=\vec{0}$)
$\vec{H} = \frac{\nabla \times \vec{A}}{\mu_0}$	$\vec{E} = - \frac{\nabla \times \vec{F}}{\epsilon_0}$
$(\nabla^2 + k_0^2) \vec{A} = - \mu_0 \vec{j}$	$(\nabla^2 + k_0^2) \vec{F} = - \epsilon_0 \vec{m}$
$\vec{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \iiint{\vec{j} \frac{e^{-j k_0 R}}{R} dV}$	$\vec{F} = \frac{\epsilon_0}{4 \pi} \iiint{\vec{m} \frac{e^{-j k_0 R}}{R} dV}$
En zone lointaine (k0R > > 1)
$\vec{H} = \frac{\vec{e_r} \times \vec{E}}{Z_0}$
$Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$

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