Ouvert etoile


Ouvert etoile

Ouvert étoilé

Un ouvert U de l'espace euclidien ou d'un espace vectoriel normé est dit étoilé par rapport à un point a si pour tout point x de U, le segment [a x], c’est-à-dire l'ensemble des barycentres positifs des points a et x est contenu dans U (cette condition assure que a est forcément dans U).
Il revient au même de dire que U est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour t positif inférieur à 1.

Il sera dit étoilé (sans plus de précisions) s'il est étoilé par rapport à un point au moins.

Exemples
  • Un ouvert convexe est étoilé par rapport à chacun de ses points.
  • Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
Remarque
La propriété d'être étoilé est complètement indépendante de celle d'être ouvert, mais il se trouve qu'elle sert principalement pour les ouverts.


Commentaire

L'intérêt principal des ouverts étoilés est leur rôle dans le lemme de Poincaré, d'après lequel toute forme différentielle sur un ouvert étoilé qui est fermée est exacte. La propriété d'être étoilé n'est pas invariante par homéomorphisme, mais les ouverts étoilés sont parmi les exemples les plus simples et les plus importants d'espaces contractiles.

Voir aussi

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