Opérateur retard

Dans l'analyse des Séries temporelles, l'opérateur retard, noté L (ou B quelquefois), est l'opérateur qui, à tout élément d'une série temporelle, associe l'observation précédente.

Définition — $\, L X_t = X_{t-1}$ pour tout $\; t > 1\,$

Généralisations

Pour un décalage de plusieurs unités, on utilise plusieurs fois de suite cet opérateur, ce que l'on note L élevé à une certaine puissance (l'exposant doit s'entendre au sens de la composition). Ainsi

$\, L^k X_{t} = X_{t-k}.\,$

Une généralisation est de décaler non-plus dans le passé mais dans le futur, par un exposant négatif. Par exemple, on pose

$\, L^{-1} X_{t} = X_{t+1}\,$.

Propriétés

Propriété — L'opérateur des retards et l'opérateur de multiplication sont commutatifs: $L(\beta X_t)=\beta\cdot(LX_t)$

Propriété — L'opérateur des retards est distributif par rapport à l'opérateur d'addition: L(X_t + Y_t) = L(X_t) + L(Y_t)

Polynôme retard

On peut combiner les propriétés précédentes pour former un polynôme retard, appelé encore polynôme caractéristique. Ce genre de polynôme est utilisé pour simplifier l'écriture des modèles de classe ARMA (autorégressifs et moyenne mobile). Par exemple, pour le modèle AR(1):

$X_t = c + \varphi X_{t-1}+ \varepsilon_t \Rightarrow (1-\varphi L)X_t=c+\varepsilon_t$

Et pout le modèle AR(p)

$X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} +\varepsilon_t \Rightarrow \left(1 - \varphi_{1} L^{1}- \varphi_{2} L^{2}-\ldots- \varphi_{p} L^{p}\right) X_t=\left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t=\varepsilon_t\,$

Cela permet d'avoir une notation très concise d'un modèle ARMA(p,q):

$\Phi X_t = \Theta \varepsilon_t\,$

où Φ et Θ représentent les polynômes retard associés aux composantes autorégressives (AR) et en moyenne mobile (MA):

$\Phi = 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\,$

et

$\Theta= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i.\,$

équation caractéristique

L'équation caractéristique se trouve très facilement depuis le polynôme caractéristique en substituant à l'opérateur des retards L la variable x. Pour le modèle AR(p): $\left(1 - \varphi_{1} L^{1}- \varphi_{2} L^{2}-\ldots- \varphi_{p} L^{p}\right)$ devient $\left(1 - \varphi_{1} x^{1}- \varphi_{2} x^{2}-\ldots- \varphi_{p} x^{p}\right)$.

L'équation caractéristique est utilisée notamment pour vérifier la stationnarité et l'invertibilité d'un processus ARMA.

Opérateur de différence

L'opérateur de différence première Δ est un polynôme retard spécial:

$\begin{array}{lcr} \Delta X_t & = X_t - X_{t-1} \\ \Delta X_t & = (1-L)X_t \end{array}$

De manière similaire, l'opérateur de différence seconde est

$\begin{align} \Delta ( \Delta X_t ) & = \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\ \Delta ( \Delta X_t ) & = X_t - X_{t-2} \\ \Delta^2 X_t & = (1-L)\Delta X_t \\ \Delta^2 X_t & = (1-L)(1-L)X_t \\ \Delta^2 X_t & = (1-L)^2 X_t \end{align}$

L'approche précédente se généralise à la i-ème différence $\Delta ^i X_t = (1-L)^i X_t \$

Voir aussi

• modèle autorégressif (AR);
• modèle moyenne-mobile (MA);
• modèle autorégressif moyenne-mobile (ARMA);
• Transformée en Z.