Opérateur d'Alembertien

D'alembertien

Articles d'analyse vectorielle
Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

Le d'alembertien, ou opérateur d'alembertien est la généralisation du concept du laplacien dans une métrique minkowskienne. Il apparaît en particulier en électromagnétisme pour décrire la propagation des ondes électromagnétiques ainsi que dans l'équation de Klein-Gordon.

Formule

Le d'alembertien, en général noté $\Box$ s'écrit, dans un système de coordonnées cartésiennes,

$\Box = \frac{\partial^2}{c^2 \partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}$,

où c est la vitesse de la lumière, ce que l'on peut réécrire en terme du laplacien par

$\Box = \frac{\partial^2}{c^2 \partial t^2} - \Delta$.

Plus généralement, partant de la métrique de Minkowski η_ab, on peut réécrire le d'alembertien selon la formule

$\Box = \eta^{ab} \frac{\partial}{\partial x^a} \frac{\partial}{\partial x^b}$,

où l'on effectue la somme sur toutes les coordonnéees t, x, y, z. Cette définition est cependant dépendante de la convention de signe de la métrique, aussi le signe du d'alembertien dépend-il parfois des auteurs.

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