Opposé (mathématiques)

Opposé (mathématiques)
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Opposé.

Cas particulier des nombres

L’opposé d’un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro.

Par exemple :

  • l’opposé de 7 est égal à -7 car 7 + (-7) = 0 ;
  • l’opposé de -0,3 est 0,3 car -0,3 + 0,3 = 0.

Ainsi d’après le dernier exemple, -(-0,3) = 0,3.

Plus généralement, si E est un ensemble muni d’une loi interne d’addition associative et commutative, l’opposé d’un élément x de E est le symétrique (s’il existe) de cet élément, et est noté en général -x.

Si de plus tous les éléments de E sont symétrisables pour la loi d’addtion, alors il est possible de définir une loi de ℤ×E dans E par :

\forall n\in\mathbb{Z}, \forall x\in E, n.x=\left\{\begin{matrix}\underbrace{x+x+\ldots+x} & {\ \rm si\ }n>0\\{}_{n{\ \rm fois}}\\0 & {\ \rm si\ }n=0\\\underbrace{(-x)+(-x)+\ldots+(-x)} & {\ \rm si\ }n<0\\{}_{-n\ {\rm fois}}\end{matrix}\right.

Dans les cas particuliers des ensembles ℤ, ℚ, ℝ et \mathbb{C}, le produit pour la multiplication interne d’un nombre par -1 est égal à l’opposé de ce nombre.

Les ensembles dont tous les éléments admettent un opposé pour l’addition dans cet ensemble sont :

En revanche, l'ensemble des entiers naturels n'a pas cette propriété : 3 a bien un opposé, -3, mais ce n'est pas un entier naturel.

Pour construire l’ensemble ℤ des entiers relatifs à partir de l’ensemble ℕ des entiers naturels, il suffit d’inclure formellement à ce dernier les opposés des entiers naturels. Ainsi, on dit que l’ensemble des entiers naturels n’est pas stable pour l’opposé, parce que leurs opposés ne sont pas des entiers naturels.

Définition générale

Soient (G,+) un groupe commutatif, dont la loi de composition interne est notée additivement et dont l’élément neutre est noté 0, et x un élément quelconque de G. On appelle opposé de x et on note -x l’élément symétrique de x, i. e. l’unique élément -x de G tel que :

x + (-x) = (-x) + x = 0.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Opposé (mathématiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Oppose (mathematiques) — Opposé (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Opposé. Cas particulier des nombres L’opposé d’un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro. Par exemple : l’opposé de 7 est égal à 7 car 7 + ( 7) = 0 ; l’opposé de 0,3… …   Wikipédia en Français

  • Opposé (mathématique) — Opposé (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Opposé. Cas particulier des nombres L’opposé d’un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro. Par exemple : l’opposé de 7 est égal à 7 car 7 + ( 7) = 0 ; l’opposé de 0,3… …   Wikipédia en Français

  • MATHÉMATIQUES (ENSEIGNEMENT DES) — Les problèmes que pose tout enseignement sont extrêmement complexes; ils sont liés à l’état de la société, à sa structure, à son développement économique et technique et à l’idée qu’elle se fait de son avenir. Les aborder dans leur totalité et… …   Encyclopédie Universelle

  • Mathematiques du Sudoku — Mathématiques du Sudoku Grille de Sudoku classique …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques Du Sudoku — Grille de Sudoku classique …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques du sudoku — Grille de Sudoku classique …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques du Sudoku — Grille de Sudoku classique Variante du Sudoku basée sur des comparaisons entre les cases …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Sinus (mathématiques) — Fonction trigonométrique Pour les articles homonymes, voir Cosinus (homonymie), Tangente et Sinus. Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques en u …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”