Oppose (mathematiques)


Oppose (mathematiques)

Opposé (mathématiques)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Opposé.

Cas particulier des nombres

L’opposé d’un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro.

Par exemple :

  • l’opposé de 7 est égal à -7 car 7 + (-7) = 0 ;
  • l’opposé de -0,3 est 0,3 car -0,3 + 0,3 = 0.

Ainsi d’après le dernier exemple, -(-0,3) = 0,3.

Plus généralement, si E est un ensemble muni d’une loi interne d’addition associative et commutative, l’opposé d’un élément x de E est le symétrique (s’il existe) de cet élément, et est noté en général -x.

Si de plus tous les éléments de E sont symétrisables pour la loi d’addtion, alors il est possible de définir une loi de ℤ×E dans E par :

\forall n\in\mathbb{Z}, \forall x\in E, n.x=\left\{\begin{matrix}\underbrace{x+x+\ldots+x} & {\ \rm si\ }n>0\\{}_{n{\ \rm fois}}\\0 & {\ \rm si\ }n=0\\\underbrace{(-x)+(-x)+\ldots+(-x)} & {\ \rm si\ }n<0\\{}_{-n\ {\rm fois}}\end{matrix}\right.

Dans les cas particuliers des ensembles ℤ, ℚ, ℝ et \mathbb{C}, le produit pour la multiplication interne d’un nombre par -1 est égal à l’opposé de ce nombre.

Les nombres admettant un opposé pour l’addition sont :

Les nombres n’ayant pas d’opposé pour l’addition sont :

Pour construire l’ensemble ℤ des entiers relatifs à partir de l’ensemble ℕ des entiers naturels, il suffit d’inclure formellement à ce dernier les opposés des entiers naturels. Ainsi, on dit que l’ensemble des entiers naturels n’est pas stable pour l’opposé, parce que leurs opposés ne sont pas des entiers naturels.

Définition générale

Soient (G,+) un groupe, dont la loi de composition interne est notée additivement et dont l’élément neutre est noté 0, et x un élément quelconque de G. On appelle opposé de x et on note -x l’élément symétrique de x, i. e. l’unique élément -x de G tel que :

x + (-x) = (-x) + x = 0.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Oppos%C3%A9 (math%C3%A9matiques) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Oppose (mathematiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Opposé (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Opposé. Cas particulier des nombres L’opposé d’un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro. Par exemple : l’opposé de 7 est égal à 7 car 7 + ( 7) = 0 ; l’opposé de 0,3 est 0,3 car 0,3 + 0,3 =… …   Wikipédia en Français

  • Opposé (mathématique) — Opposé (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Opposé. Cas particulier des nombres L’opposé d’un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro. Par exemple : l’opposé de 7 est égal à 7 car 7 + ( 7) = 0 ; l’opposé de 0,3… …   Wikipédia en Français

  • MATHÉMATIQUES (ENSEIGNEMENT DES) — Les problèmes que pose tout enseignement sont extrêmement complexes; ils sont liés à l’état de la société, à sa structure, à son développement économique et technique et à l’idée qu’elle se fait de son avenir. Les aborder dans leur totalité et… …   Encyclopédie Universelle

  • Mathematiques du Sudoku — Mathématiques du Sudoku Grille de Sudoku classique …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques Du Sudoku — Grille de Sudoku classique …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques du sudoku — Grille de Sudoku classique …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques du Sudoku — Grille de Sudoku classique Variante du Sudoku basée sur des comparaisons entre les cases …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Sinus (mathématiques) — Fonction trigonométrique Pour les articles homonymes, voir Cosinus (homonymie), Tangente et Sinus. Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques en u …   Wikipédia en Français