Operations sur les equivalents

Opérations sur les équivalents

Dans cet article, on fait le point sur les opérations qu'on a le droit d'effectuer sur les équivalents en analyse mathématique.

Règles simples

Inversion

Soient f,g deux fonctions qui, localement, sont non-nulles au voisinage de a (sauf peut-être en a). En particulier, on peut définir leurs inverses. Alors :

Si $f\sim_a g$, on a $\frac{1}{f}\sim_a\frac{1}{g}$.

Démonstration

Tout simplement, on sait qu'on a $\frac{f}{g}\to 1$ quand $x \to a$. Tenant compte des opérations sur les limites autorisées, on a donc $\frac{1}{\frac{f}{g}}=\frac{g}{f}=\frac{\frac{1}{f}}{\frac{1}{g}}\to 1$, et donc $\frac{1}{f}$ et $\frac{1}{g}$ qui sont équivalentes en a.

Produit

Soient les fonctions $f_1\,$, $f_2\,$, $g_1\,$, $g_2\,$. On a alors :

Si $f_1 \sim_a g_1$ et $f_2 \sim_a g_2$ alors f₁f₂˜_ag₁g₂.

Démonstration

On fait la démonstration dans le cas plus simple où on peut caractériser l'équivalence par la limite du quotient. On a ainsi : $\frac{f_1}{g_1}$ et $\frac{f_2}{g_2}$ tendent vers 1 quand $x\to a$ et il en est donc de même pour leur produit . C'est-à-dire : $\frac{f_1 f_2}{g_1 g_2}\to 1$. Cela signifie bien que f₁g₁ et f₂g₂ sont équivalentes.

Multiplication par un scalaire

Soient les fonctions f,g et $\lambda \in \mathbb{C}^*$. On a alors :

Si $f \sim_a g$ alors λf˜_aλg.

Démonstration

C'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents avec (f₁,g₁) = (f,g) et les fonctions f₂,g₂ constantes égales à λ.

Quotient

Soient les fonctions $f_1\,$, $f_2\,$, $g_1\,$, $g_2\,$. On suppose que f₂ et g₂ ne s'annulent pas localement autour de a. On a alors:

Si $f_1 \sim_a g_1$ et $f_2 \sim_a g_2$ alors $\frac{f_1}{f_2} \sim_a \frac{g_1}{g_2}$.

Démonstration

D'après la règle sur l'inversion, on a $\frac{1}{f_2}\sim_a \frac{1}{g_2}$. On applique ensuite la règle sur le produit.

Puissance

Soient les fonctions $f \,\!$, $g \,\!$ et $n \in \mathbb{N}^*$. On a alors :

Si $f \sim_a g$ alors $f^{n} \sim_a g^{n} \,\!$.

Démonstration

C'est un cas particulier de la règle sur le produit des équivalents. $f^n=f \,\!$×...×f, n fois.

Règles plus subtiles

Composition

Il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers:

• Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions définies sur un voisinage V de a (sauf peut-être en a):

$\lim_{x \to a}{(f-g)(x)}=0 \Rightarrow e^f \sim_a e^g$

démonstration

$\lim_{x \to a}{(f-g)(x)}=0 \Rightarrow \lim_{x \to a}{e^{(f-g)(x)}} = e^0 = 1 \Rightarrow \lim_{x \to a}{\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}} = 1 \Rightarrow e^f \sim_a e^g\,$

• Soient $f\,$ et $g\,$ deux fonctions définies sur un voisinage V de a (sauf peut-être en a), strictement positives sur V, telles que $f \sim_a g$ et $\lim_{x \to a} f(x) \ne 1$. Alors on a: $\ln \circ f \sim_a \ln \circ g$.

démonstration

On a:
$\frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)}g(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})+\ln(g(x))}{\ln(g(x))} = \frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{\ln(g(x))}+1$
De plus, $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$ donc $\lim_{x \to a}{\ln \frac{f(x)}{g(x)}} = \ln(1) = 0$
Or $\lim_{x \to a}g(x) = \lim_{x \to a}f(x) = l \in \overline{\mathbb R}-\{1\}$ donc $\lim_{x \to a}\ln(g(x)) \in \overline{\mathbb R}^*$ donc $\lim_{x \to a}\frac{\ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{\ln(g(x))} = 0\,$ donc $\lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))} = 1$ donc $\ln \circ f \sim_a \ln \circ g$

Remarque: si $\lim_{x \to a}f(x) = 1$ alors $\ln \circ f \sim_a f - 1$

démonstration

$\lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{f(x) - 1} = \lim_{x \to a}\frac{\ln(1+f(x)-1) - \ln(1)}{f(x)-1} = \lim_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h}$ avec $h = f(x)-1\,$. Remarquons que $\lim_{x \to a}h = \lim_{x \to a}f(x) - 1 = 1 - 1 = 0$. On reconnaît la dérivée du logarithme en 1, qui vaut 1. Donc $\lim_{x \to a}\frac{\ln(f(x))}{f(x)-1} = 1$ donc $\ln \circ f \sim_a f - 1$.

Opérations interdites, contre-exemples

Somme, différence

Dans le cas général, on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes; il faut donc repasser par la limite du quotient. Par exemple, on a pour un x réel:

$\left\{\begin{array}{l}x+x^2\sim_0x \\ -x+x^3\sim_0 -x \end{array} \right.$

mais

$(x+x^2)+(-x+x^3)=(x^2+x^3)\nsim_0 0=x+(-x)$

Composition de fonctions

Exponentielle

Si $f \sim_a g$, on ne peut pas en déduire e^f˜_ae^g. Par exemple

$x+1 \sim_\infty x$

mais

$e^{x+1}=ee^x \nsim_{+\infty} e^x$

L'hypothèse

$f-g \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0$

est indispensable (voir le théorème énoncé plus haut).

Logarithme

Si $f \sim_a g$ et que

$f \underset{x \to a}{\longrightarrow} 1$

on ne peut conclure $\ln \circ f \sim_a \ln \circ g$. Par exemple

$1+x \sim_o 1+2x \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1$

Or d'après un développement limité

ln(1 + x)˜₀x

on a donc

$\ln(1+2x)\sim_0 2x \nsim_0 x \sim_0 \ln(1+x)$

L'hypothèse que f ne tende pas vers 1 est indispensable (voir théorème plus haut).

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