Onde de bloch

Onde de Bloch

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Les ondes de Bloch, d'après Felix Bloch, sont les fonctions d'ondes décrivant les états quantiques des électrons soumis à un potentiel périodique. C'est notamment le cas du cristal parfait infini, les électrons sont soumis à un potentiel périodique ayant la symétrie de translation des atomes constituant le cristal.

Le théorème de Bloch

Énoncé

Le théorème de Bloch donne les solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour un potentiel donné périodique.

Un potentiel V(x) de périodicité x₀ peut s'écrire sous la forme V(x + x₀) = V(x), le théorème de Bloch dit alors que les fonctions d'onde, dite onde de Bloch, s'écrivent :

$\psi(x)=e^{ikx}\cdot u_{\vec {k}(x)}$

où $u_{\vec {k}(x)}$est une fonction de période x₀, c'est-à-dire $u_{\vec {k}(x)}=u_{\vec {k}(x+x_0)}$.

Application à un cristal parfait

Dans un cristal parfait infini, les potentiels possèdent la périodicité du réseau cristallin. Le théorème de Bloch permet d'obtenir les états propres d'énergie d'un électron dans ce réseau.

Si nous baptisons par | Ψ_J > les états propres du hamiltonien et | R_n > les états propres de chaque potentiel localisé au nœud R_n du réseau, alors nous avons H | Ψ_J > = E | Ψ_J > . Soit T_R l'opérateur de translation de R. Si R appartient au réseau, alors H et T_R commutent et ont donc les mêmes sous-espaces propres.
En utilisant la propriétés d'invariance de la norme des états propres par translation d'une période entière du réseau cristallin et la propriété de combinaison des translations, on obtient les valeurs propres de T_R, R fixé, sous la forme $\Lambda_R=e^{ikR}\;$.
On en déduit que la forme générale de la fonction d'onde dans le cas d'un cristal est :

< r | Ψ_k,n > = Ψ_k,n(r) = e^ikru_k,n(r)

où u_k,n(r) est périodique avec la période du réseau cristallin.

< r | Ψ_k,n > = Ψ_k,n(r) est appelé l'onde de Bloch

Conséquences du théorème de Bloch

Le théorème de Bloch introduit un vecteur d'onde k. Il est nommé pseudo-moment de l'électron. Cette quantité remplace le moment $P \over \hbar$ de l'électron lorsqu'on passe du problème d'un électron se mouvant dans un milieu continu à celui d'un électron se mouvant dans un potentiel périodique. Ce pseudo-moment n'est pas proportionnel à P. En effet la dérivation ${\hbar \over i}\nabla~$ introduit un terme supplémentaire $e^{ikr}{\hbar \over i}\nabla u_{k,n}(r)$. Ainsi Ψ_k,n n'est pas un état propre de l'opérateur quantité de mouvement. D'une façon plus générale, la non-conservation de la quantité de mouvement et la non pertinence de cette grandeur dans le cadre d'un potentiel periodique d'etendue spatiale infinie peut sembler surprenante. Il faut se rapporter au théorème de Noether pour en comprendre l'origine. En effet le théorème de Noether fait découler directement la conservation de la quantité de mouvement de la symetrie de l'espace en regard des translations infinitésimales. Or le potentiel cristallin introduit une symétrie brisée (translations discrètes au regard des translations infinitésimales) et l'invariant associé n'a plus de raison d'être conservé.

Représentation de la fonction d'onde sur les zones de Brillouin

Dans l'espace réciproque, c'est-à-dire l'espace des k, le vecteur d'onde d'un état de Bloch k est défini à un vecteur du réseau réciproque près, en raison de la périodicité du facteur u_n,k(r) dans le réseau direct. Conventionnellement, on choisit k plus proche du nœud 0 du réseau réciproque que de tout autre nœud. Ce domaine est nommé la première zone de Brillouin, et permet de caractériser entièrement les solutions. La deuxième zone de Brillouin est composée des points du réseau réciproque plus proches des premiers nœuds que du nœud 0 et des deuxièmes nœuds par ordre de distance au nœud 0, et ainsi de suite.

Ainsi pour décrire complètement les états d'un électron, on peut se contenter de faire varier le pseudo-moment k dans la première zone de Brillouin, à condition d'admettre que l'énergie est une fonction multiforme du moment,et donc que pour une valeur de k correspondent plusieurs valeurs de l'énergie. Des valeurs de l'énergie différentes correspondent à des translations de vecteurs du réseau réciproque différents. Les branches de la fonction énergie du vecteur k auxquelles on peut restreindre l'énergie pour avoir une fonction univoque de k sont appelées les bandes d'énergie. Les intervalles d'énergie pour lesquels il n'existe aucune branche ni aucune valeur de k correspondante sont appelés les bandes interdites.

Les bandes interdites

Apparition des bandes interdites

Une conséquence du théorème de Bloch est l'apparition des bandes interdites par l'application d'un potentiel cristallin perturbatif (donc arbitrairement faible) sur des électrons libres: c'est le modèle des électrons presque libres. Partons d'une fonction d'onde d'électron libre | k > et prenons le potentiel cristallin sous la forme:

$V(r)=\sum_{m \neq 0}V(K_m)exp(iK_mr)$

Constatons d'abord que la perturbation introduite par ce potentiel ne peut pas être dans le cas général une perturbation du premier ordre. En effet, tous les termes de ce potentiel sont oscillatoires et leur moyenne par toute fonction d'onde K sur un domaine suffisamment grand est nulle, sauf si les termes oscillatoires se compensent. On montre facilement que la fonction d'onde prend la forme:

$|\Psi_k>=|k>+ \sum_{m \neq 0}u(K_m)|k+K_m>$

avec:

$u(K_m)={{2m.V(K_m)}\over{{\hbar^2}[E(k)-(k+K_m)^2]}}$

Remarquons au passage que cette fonction d'onde est bien une onde de Bloch (il suffit de remplacer les kets par leurs formes fonctionnelles). En posant E(k) = k² et vu la nature périodique du potentiel perturbateur V, toutes ces contributions sont nulles à l'exception de celles remplissant les conditions de Bragg, (k + K_p)² = k² ce qui donne comme valeur de E:

$E={{\hbar^2k^2}\over{2m}}\pm[V(K_p)]$

Donc pour un point k à mi-distance de l'origine et d'un premier nœud du réseau réciproque, c’est-à-dire k = − K_p / 2 la condition de Bragg est vérifiée et la valeur de E modifiée. Ce point est évidemment sur la frontière de la première zone de Brillouin.

Forme des fonctions d'onde au voisinage de la frontière de zone

Au voisinage de points K_p / 2, les formules données plus haut divergent, ce qui prouve que l'approche perturbative n'est pas appropriée. En fait la solution est une recombinaison de l'onde de vecteur K_p / 2 + δk et de l'onde de vecteur − K_p / 2 + δk. Le couplage de ces deux niveaux provoque un éclatement de la bande d'énergies au voisinage des pointsK_p / 2 et − K_p / 2. Il en résulte l'ouverture autour des points d'énergie :

$E_p = {\hbar^2 \over {2 m_e}}\left({K_p\over 2}\right)^2$

d'un intervalle d'énergie qui ne peut être atteint pour aucune valeur de k. En effet les énergies au voisinage de K_p / 2 sont fortement éclatées et ne peuvent donc pas être solution de valeurs au voisinage immédiat de E_p. Quant aux valeurs plus distantes de k, la perturbation de l'énergie est trop faible pour la ramener à proximité de la valeur E_p.

Voir aussi

Articles connexes

• Théorie des bandes
• Zone de Brillouin

Bibliographie

• Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »], 1998 [détail des éditions] 
• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Physique des solides [détail des éditions]
• O. Madelung, Introduction to Solid State Physics, Springer, 1981. ISBN 0-387-08516-5
• Blokhintsev, Mécanique quantique et applications à l'étude de la structure de la matière, Dunod, 1967. ISBN 2225509204
• Blokhintsev, Physique du solide

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