Octaèdre tronqué

Octaèdre tronqué
Type	Solide d'Archimède
Faces	Carrés et hexagones
Éléments :  · Faces  · Arêtes  · Sommets  · Caractéristique	14 36 24 2
Faces par sommet	3
Sommets par face	4 et 6
Isométries
Dual	Tétrakihexaèdre
Propriétés	Semi-régulier et convexe, zonoèdre
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Patron (géométrie)

L'octaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il possède 8 faces hexagonales régulières, 6 faces carrés régulières, 24 sommets et 36 arêtes. Puisque chacune de ses faces possède un centre de symétrie (ou une symétrie à 180°), l'octaèdre tronqué est un zonoèdre.

Coordonnées et permutations

Toutes les permutations de (0, ±1, ±2) sont des coordonnées cartésiennes des sommets d'un octaèdre tronqué centré à l'origine. Les sommets sont aussi les coins de 12 rectangles dont les longueurs sont parallèles aux axes de coordonnées.

L'octaèdre tronqué peut aussi être représenté par plus de coordonnées symétriques en quatre dimensions : toutes les permutations de (1,2,3,4) forment les sommets d'un octaèdre tronqué dans le sous-espace à trois dimensions x+y+z+w=10. Pour cette raison, l'octaèdre tronqué est aussi connu quelquefois sous le nom permutoèdre. La construction se généralise à n quelconque, et forme un polytope à (n-1) dimensions, ses sommets représentent les permutations d'un ensemble de n articles; par exemple, les six permutations de (1,2,3) forment un hexagone régulier dans le plan x+y+z=6.

Relations géométriques

Partie d'un pavage spatial utilisant les octaèdres tronqués

Les octaèdres tronqués sont capables de paver un espace à 3 dimensions, en formant un nid d'abeille uniforme convexe. Ce pavage peut aussi être vu comme le pavage de Voronoï du réseau cubique centré.

Mesures et volume

Si son arête est de longueur "a",

• Son volume vaut :

$V = a^3 \times 8\sqrt{2} \approx a^3 \times 11,3137$

• Sa surface est de :

$A = a^2 \times (6 + 12\sqrt{3}) \approx a^2 \times 26,7846$

Références

• Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, ISBN 0-486-23729-X
• Mathworld : the truncated octahedron

Liens externes

• (en) [www.nanomedicine.com/NMI/Figures/5.5.jpg]
• (en) Polyèdres virtuels : l'encyclopédie des polyèdres
• (en) [1]
• (en) [2]