Arbre bicolore

Un arbre bicolore ou arbre rouge et noir est un type particulier d'arbre binaire de recherche, qui est une structure de données utilisée en informatique théorique. Les arbres bicolores ont été inventés en 1972 par Rudolf Bayer qui les nomma "symetric binary B-trees". Leur principal intérêt réside dans la complexité logarithmique des opérations suivantes : l'insertion, la recherche et la suppression. Ils sont cependant assez complexes à mettre en œuvre, car les opérations d'insertion et de suppression font appel à de nombreuses études de cas. Enfin, ils sont isomorphes aux arbres 2-3-4.

Utilisation et avantages

Les arbres bicolores, ainsi que les arbres AVL, offrent la meilleure garantie sur le temps d'insertion, de suppression et de recherche dans les cas défavorables. Ceci leur permet non seulement d'être alors utilisables dans des applications en temps réel, mais aussi de servir comme fondement d'autres structures de données à temps d'exécution garanti dans les cas défavorables, par exemple en géométrie algorithmique.

Propriétés

Un arbre bicolore est un arbre binaire de recherche dans lequel chaque nœud a un attribut supplémentaire : sa couleur, qui est soit rouge soit noire. En plus des restrictions imposées aux arbres binaires de recherche, on ajoute les règles suivantes :

1. Un nœud est soit rouge soit noir.
2. La racine est noire.
3. Le parent d'un nœud rouge est noir.
4. Le chemin de chaque feuille à la racine contient le même nombre de nœuds noirs.

Ces contraintes impliquent une propriété importante des arbres bicolores : le chemin le plus long possible d'une racine à une feuille ne peut être deux fois plus long que le plus petit possible. On a ainsi un arbre presque équilibré. Comme les opérations d'insertion, de recherche et de suppression requièrent dans le pire des cas un temps proportionnel à la taille de l'arbre, les arbres bicolores restent efficaces, contrairement aux arbres binaires de recherche ordinaires.

Pour comprendre comment ces contraintes garantissent la propriété ci-dessus, il suffit de s'apercevoir qu'aucun chemin ne peut avoir deux nœuds rouges consécutifs à cause de la propriété 3. Le plus petit chemin théorique de la racine à une feuille ne contient alors que des nœuds noirs tandis que le plus grand alterne entre les nœuds rouges et noirs. Et comme d'après la propriété 4, chacun de ces chemins contient le même nombre de nœuds noirs, le plus grand chemin ne peut être deux fois plus grand que le plus petit.

La propriété 2 n'est pas nécessaire. Les seuls cas où la racine pourrait devenir rouge étant les deux cas où sa couleur n'a pas d'importance : Soit la racine est le seul nœud, soit elle possède deux fils noirs. Cette propriété est ajoutée uniquement pour visualiser plus rapidement l'isomorphisme avec les arbres 2-3-4 : Chaque nœud noir et ses éventuels fils rouges représente un nœud d'arbre 2-3-4.

Opérations

La recherche sur un arbre bicolore s'effectue exactement comme dans les arbres binaires de recherche. Cependant, après une insertion ou une suppression, les propriétés de l'arbre bicolore peuvent être violées. La restauration de ces propriétés requiert un petit nombre (O(ln n)) de modifications des couleurs (qui sont très rapides en pratique) et pas plus de trois rotations (deux pour l'insertion). Ceci permet d'avoir une insertion et une suppression en O(ln n) mais complique grandement les opérations à cause du grand nombre de cas à étudier.

Insertion

Première étape : descendre à partir de la racine à la recherche de la feuille où il faut insérer l'élément.

Deuxième étape : sur ce chemin, lorsqu'un nœud A a ses deux fils rouges, on inverse les couleurs de A et de ses fils. De plus, si le père de A est lui-même rouge, il faut faire une rotation sur le grand-père de A avant de poursuivre la descente.

Troisième étape : l'ajout proprement dit se fait toujours sur un nœud rouge car le nouvel élément est ajouté en tant que jumeau. Dans le cas où le père du nœud ajouté est rouge mais n'a pas de père rouge, il faut effectuer une rotation comme à la deuxième étape.

Suppression

La suppression commence par une recherche du nœud à supprimer. Si le nœud supprimé est rouge, les propriétés restent satisfaites. Si le nœud supprimé est noir, on perd la propriété 4, l'arbre doit alors être réorganisé en remontant jusqu'à la racine.

Voir aussi

• Arbre AVL
• Arbre B
• Arbre 2-3-4
• Arbre splay