Nombre narcissique

Un nombre narcissique (ou nombre d'Armstrong de première espèce, ou - en anglais - PPDI, pour pluperfect digit invariant)^[1] est un entier naturel n non nul qui est égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres en base dix, où p désigne le nombre de chiffres de n :

$n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^p\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}\quad\text{et}\quad x_{p-1}\ne 0~.$

Exemples

• Tous les entiers de 1 à 9 sont narcissiques.
• Les vingt premiers termes de la suite des 88 nombres narcissiques (suite A005188 de l’OEIS) sont :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834.

• 153 = 1³ + 5³ + 3³
• 548834 = 5⁶ + 4⁶ + 8⁶ + 8⁶ + 3⁶ + 4⁶

Variantes des nombres d'Armstrong

• Un nombre d'Armstrong^[2] de quatrième espèce, ou perfect digit invariant (PDI) est un entier n qui est égal à la somme des puissances q-ièmes de ses chiffres, mais cette fois pour un entier q > 0 quelconque, non nécessairement égal au nombre p de chiffres de n (un tel n n'est donc généralement pas un nombre narcissique) :

$n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^q\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\},$ pour un certain q > 0.

Intuitivement, il est clair que si p est le nombre exact de chiffres de n et augmente, q tend à augmenter.

Démonstration

Comme $x_{p-1}\neq 0$, $n\ge 10^{p-1}$. D'autre part, $n=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^q\leq 9^qp$. D'où $9^qp\ge 10^{p-1}$.

Par théorème de croissance comparée, il vient que pour un p donné, q est nécessairement au-dessus d'un rang donné, qui croît avec p.

Remarque : cela ne prouve pas pour autant l'existence de q !

• Pour les nombres d'Armstrong de troisième espèce (PDDI), voir l'article Nombre de Münchhausen.

• Un nombre d'Armstrong n de deuxième espèce vérifie quant à lui :

$n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^{k+1}\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}.$

• On peut également considérer les nombres d'Armstrong dans une base autre que 10.

Corollaire

Par extension, on parle aussi de nombre narcissique pour un entier qui peut être découpé en tranches égales d'un ou de plusieurs chiffres et dont la somme de ces tranches, élevée à une puissance entière naturelle, est égale à lui-même^{[réf. nécessaire]}.

Exemple :

3025 = (30 + 25)²

4913 = (4 + 9 + 1 + 3)³

On entend même aujourd'hui parler de nombre narcissique pour un entier pouvant être découpé en tranches égales, et dont la somme de chaque tranche élevée à une puissance donne le nombre d'origine^{[réf. nécessaire]}.

Exemple :

1000 = 10³ + 00³

Les nombres dont la somme des factorielles de chacun des chiffres est égale au nombre d'origine sont aussi dits narcissiques^{[réf. nécessaire]}.

Exemple :

145 = 1! + 4! + 5!

Référence

1. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Narcissistic Number », MathWorld
2. ↑ (en) Les quatre définitions d'Armstrong