Nombre de Wagstaff

En mathématiques, un nombre premier p de la forme

$p=\frac{(2^q + 1)}{3}\,$

pour un nombre premier q est appelé un nombre premier de Wagstaff ; ils sont reliés à la nouvelle conjecture de Mersenne. Les nombres premiers de Wagstaff ont été nommés en l'honneur du mathématicien Samuel S. Wagstaff (en). Les premiers petits nombres premiers q (Encyclopédie électronique des suites entières (id=A000978) sont :

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, ...

Le plus grand nombre de Wagstaff premier connu en août 2007 est $\frac{2^{42737}+1}3$

Mais le plus grand nombre de Wagstaff probablement premier (PRP) connu en février 2010 est $\frac{2^{4031399}+1}3$ . Ce nombre de 1.213.572 chiffres décimaux a été découvert par Tony Reix au moyen de l'outil LLR (Lucas-Lehmer-Riesel) réalisé par Jean Penné à partir de la librairie gwnum issue du projet GIMPS, et implémentant le test Vrba-Reix qui utilise les propriétés d'un cycle du DiGraph sous x^2-2 modulo un nombre de Wagstaff. C'est le 3ème plus grand PRP jamais trouvé à cette date.

Lien externe

• Renaud Lifchitz: « Un test de primalité probabiliste efficient pour les nombres de la forme (2^p+1)/3 » (en anglais)

• OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences): Liste des nombres de Wagstaff premiers et "probablement premiers" (PRPs) (en anglais) (Pour PRP, voir : Nombre premier probable)

• "The Prime Pages" (par Chris Caldwell): historique des nombres de Wagstaff premiers (en anglais)

• Anton Vrba and Tony Reix : Conjecture d'un test de primalité pour nombres de Wagstaff basé sur l'utilisation des cycles du test LLT (Lucas Lehmer Test) (en anglais)