Nombre Heureux

Nombre Heureux

Nombre heureux

En mathématiques, un nombre heureux est un nombre entier qui, lorsqu'on ajoute les carrés de chacun de ses chiffres, puis les carrés des chiffres de ce résultat et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d'un nombre à un seul chiffre, donne 1 pour résultat.
À l'opposé, les nombres qui ne sont pas heureux sont appelés nombres malheureux.

De manière plus formelle, on considère un entier positif t, puis on définit la suite t_0,t_1,t_2\ldots\,\! où t_0 = t\,\! et ti + 1 est égal à la somme des carrés des chiffres de t_i\,\!. t est dit heureux si la suite aboutit à 1 à partir d'un certain nombre de termes, c’est-à-dire que pour un certain indice i, t_i = 1\,\! (Bien sûr, à partir de cet indice, tous les t_j\,\! sont égaux à 1 et la suite est constante).

Ainsi, 7 est heureux, puisque la suite associée est :

t_1 = 7^2 = 49\,
t_2 = 4^2 + 9^2 = 97\,
t_3 = 9^2 + 7^2 = 130\,
t_4 = 1^2 + 3^2 + 0^2 = 10\,
t_5 = 1^2 + 0^2 = 1\,

La réponse t du carré d'un nombre heureux donnera toujours un autre nombre heureux. Comme dans la suite précédente.

t_1 = 7^2 = 49\,; 49 = Nombre Heureux
t_2 = 4^2 + 9^2 = 97\,; 97 = Nombre Heureux
t_3 = 9^2 + 7^2 = 130\,; 130 = Nombre Heureux
t_4 = 1^2 + 3^2 + 0^2 = 10\,; 10 = Nombre Heureux

Peu importe la valeur de départ dans la suite, si celle-ci est la réponse d'un plus petit nombre heureux

Un nombre t est heureux (ou joyeux) si et seulement si tous les membres de la suite définie ci-dessus sont heureux. A contrario, un nombre t est malheureux (ou triste) si et seulement si tous les membres de cette suite sont malheureux.

Les vingt premiers nombres heureux sont[1] 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 et 100.

Les nombres heureux sont largement moins représentés que les nombres malheureux et ils ne sont pas répartis régulièrement : on en compte 19 inférieurs à 100, 100 inférieurs à 701, 142 inférieurs à 1000. La proportion de nombre heureux augmente quand on s'approche de 1000.

Voir aussi

Notes

  1. ↑ La formule suivante, recopiée dans un Microsoft Excel permet de déterminer les nombres heureux et malheureux de 1 à 999. La colonne A contient les nombres à traiter, à de la 2e ligne. Coller la formule dans la cellule B2, la recopier vers la droite de 17 cellules et vers le bas autant que nécessaire. (signe égal)IF(A3=37;"";IF(A3=1;"";IF(A3<10;A3^2;IF(A3<100;LEFT(A3;1)^2+RIGHT(A3;1)^2;(RIGHT((LEFT(A3;2));1)^2)+RIGHT(A3;1)^2+LEFT(A3;1)^2))))

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