Nombre De Friedman

Nombre de Friedman

En mathématiques, un nombre de Friedman est un nombre entier qui, dans une base donnée, est le résultat d'une expression utilisant ses propres chiffres en combinaison avec une des quatre opérations arithmétique de base ($+, -, \times, \frac{.}{.}\,$) et quelque fois l'exponentiation. Par exemple, 347 est un nombre de Friedman puisque 347 = 7³ + 4. Les premiers petits nombres de Friedman en base 10 sont :

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159

Les parenthèses peuvent être utilisées dans les expressions, mais seulement pour isoler une expression par rapport à un opérateur, par exemple, dans 1024 = (4 - 2)¹⁰. Permettre les parenthèses sans les opérateurs donnerait des nombres de Friedman fictifs tels que 24 = (24). Les zéros non-significatifs ne sont pas utilisés, puisque cela donnerait des nombres de Friedman fictifs, tels que 001729 = 1700 + 29.

Actuellement, deux nombres de Friedman pandigitaux sans zéros sont connus :

$123456789 = \frac{({86 + 2 * 7}^5 - 91)}{34}$, et :$987654321 = 8 \times \frac{(97 + {\frac{6}{2}}^5 + 1)}{3^4}$, tous deux découverts par Mike Reid et Philippe Fondanaiche.

A partir de l'observation que toutes les puissances de 5 paraissent être des nombres de Friedman, nous pouvons trouver des chaînes de nombres de Friedman consécutifs. Friedman donne l'exemple de $250068 = 500^2 + 68\,$, à partir duquel nous pouvons facilement déduire l'intervalle de nombres de Friedman consécutifs de 250010 à 250099.

Un nombre de Friedman agréable est un nombre de Friedman où les chiffres dans l'expression peuvent être arrangés dans le même ordre que dans le nombre lui-même. Par exemple, nous pouvons arranger 127 = 2⁷ - 1 comme 127 = -1 + 2⁷. Toutes les expressions pour les nombres de Friedman agréables inférieurs à 10000 impliquent l'addition et la soustraction. Les premiers petits nombres de Frieman agréables sont

127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739

Fondanaiche pense que le plus petit nombre uniforme de Friedman agréable est 99999999 = (9 + 9/9)^9-9/9 - 9/9. Brandon Owens a démontré que les nombres uniformes de plus de 24 chiffres sont des nombres de Friedman agréable dans n'importe quelle base.

Algorithmes pour trouver des nombres de Friedman

Il existe généralement moins de nombres de Friedman à deux chiffres qu'à trois chiffres et plus dans n'importe quelle base donnée, mais ceux à deux chiffres sont plus faciles à trouver. Si nous représentons un nombre à deux chiffres sous la forme mb + n, où b est la base et m, n des nombres entiers compris entre -1 et b, nous avons besoin de vérifier seulement chaque conbinaison possible de m et n par rapport aux égalités :

$m.b + n = m.n\,$ ,

$m.b + n = m^n\,$ , et

$m.b + n = n^m\,$

pour voir laquelle reste vraie. Nous n'avons pas besoin de nous préoccuper de m + n, puisqu'une petite réflexion nous montrera que mb + n = m + n sera toujours fausse. À partir de là, il devient évident que nous n'avons pas à nous préoccuper des expressions telles que m - n et m/n.

Lorsque nous traitons les nombres à trois chiffres, le concept reste le même, seulement il existe plus d'expressions possibles à vérifier. En représentant un nombre à trois chiffres sous la forme $k.b^2 + m.b + n\,$, il existe plus d'expressions à vérifier, pour démarrer,

$k^m + n\,$,

$k^n + m\,$,

$k^{m+n}\,$,

$n \times (k.b + m)\,$, etc.

Les nombres de Friedman exprimés en chiffres romains

Dans un sens trivial, tous les nombres exprimés en chiffres romains avec plus d'un symbole sont des nombres de Friedman. L'expression est créé en insérant simplement les signes + dans l'expression, et occasionnellement le signe - avec un léger réarrangement dans l'ordre des symboles.

Mais Erich Friedman et Robert Happleberg ont fait certaines recherches sur les nombres exprimés en chiffres romains pour lesquels l'expression utilise d'autres opérateurs que + et -. Leur première découverte fut le nombre de Friedman agréable 8, puisque VIII = (V - I) * II. Ils ont aussi trouvé beaucoup de nombres de Friedman exprimés en chiffres romains pour lesquels l'expression utilise l'exponentiation, par exemple 256 puisque $CCLVI = IV^{\frac{CC}{L}}\,$ .

La difficulté pour trouver des nombres de Friedman exprimés en chiffres romains non-triviaux n'augmente pas avec la taille du nombre (comme c'est le cas avec les systèmes de nombres à notation positionnelle) mais avec le nombre de symboles qu'il possède. Ainsi, par exemple, il est plus pénible de savoir si 137 (CXLVII) est un nombre de Friedman exprimé en chiffre romain que de faire la même détermination pour 1001 (MI). Avec les nombres exprimés en chiffres romains, on peut au moins faire dériver certaines expressions de Friedman à partir desquelles on peut découvrir d'autres. Friedman et Happleberg ont montré que tout nombre finissant par VIII est un nombre de Friedman basé sur l'expression donnée ci-dessus, par exemple.

Ce document provient de « Nombre de Friedman ».