Nombre Complexe Fendu

Nombre complexe fendu

En mathématiques, les nombres complexes fendus sont une extension des nombres réels définis de manière analogue aux nombres complexes (usuels). La différence-clef entre les deux est que la multiplication des nombres complexes (usuels) respecte la norme euclidienne standard (carrée) :

$x^2 + y^2\,$ sur $\mathbb{R}^2\,$

alors que la multiplication des nombres complexes fendus, quant à elle, respecte la norme de Minkowski ou norme lorentzienne (carrée)

$x^2 - y^2 \,$

Les nombres complexes fendus ont beaucoup d'autres noms, voir la section des synonymes ci-dessous.

Un espace vectoriel réel à deux dimensions muni du produit interne de Minkowski est appelé un espace de Minkowski de dimension 1+1, souvent noté $\mathbb{R}^{1,1}\,$ . Tout comme la géométrie euclidienne du plan euclidien $\mathbb{R}^2\,$ peut être décrite avec les nombres complexes, la géométrie lorentzienne du plan de Minkowski $\mathbb{R}^{1,1}\,$ peut être décrite avec les nombres complexes fendus.

Le nom fendu provient du fait que les signatures de la forme (p,p) sont appelées signatures fendues. En d'autre mots, les nombres complexes fendus sont similaires aux nombres complexes mais dans la signature fendue (1,1).

Définition

Un nombre complexe fendu est de la forme :

$z = x + j.y\,$

où x et y sont des nombres réels et la quantité j définie par (voir les Tessarines) :

$j^2 = +1\,$

L'ensemble de tous ces z est appelé le plan complexe fendu. L'addition et la multiplication des nombres complexes fendus sont définies par

$(x + j.y) + (u + j.v) = (x + u) + j.(y + v)\,$

$(x + j.y)(u + j.v) = (xu + yv) + j.(xv + yu)\,$

Cette multiplication est commutative, associative et distributive sur l'addition.

Conjugué, norme, et produit interne

Comme pour les nombres complexes, on peut définir la notion de conjugué complexe fendu. Si

$z = x + j.y\,$,

le conjugué de z est défini par

$z^* = x - j.y\,$.

Le conjugué satisfait les propriétés similaires du conjugué complexe usuel :

$(z + w)^* = z^* + w^*\,$

$(zw)^* = z^*w^*\,$

$(z^*)^* = z\,$

Ces trois propriétés impliquent que le conjugué complexe fendu est un automorphisme d'ordre 2.

La norme carrée (ou forme quadratique) d'un nombre complexe fendu $z = x + j.y\,$ est donnée par

$\lVert z \rVert = z z^* = z^* z = x^2 - y^2\,$.

Cette norme n'est pas définie positivement mais possède plutôt une métrique (1,1). Une propriété importante de cette norme est qu'elle est préservée par la multiplication complexe fendue :

$\lVert z w \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert$

Le produit interne associé (1,1) est donné par

$<z, w> = Re(zw^*) = Re(z^*w) = xu - yv\,$

où $z = x + j.y\,$ et $w = u + j.v\,$ et

$\lVert z \rVert = \langle z, z \rangle$

Les nombres complexes fendus z et w sont dits orthogonaux hyperboliques si <z, w> = 0.

Un nombre complexe fendu est inversible si et seulement si sa norme est différente de zéro ($\lVert z \rVert \ne 0$). L'inverse d'un tel élément est donné par

$z^{-1} = z^* / \lVert z \rVert$

Les nombres complexes fendus qui ne sont pas inversibles sont appelés éléments nuls. Ceux-ci sont tous de la forme $(a \pm j.a)\,$ pour un certain nombre réel a.

La base diagonale

Il existe deux éléments idempotents non-triviaux donnés par $e = \frac{(1 - j)}{2}\,$ et $e^* = \frac{(1 + j)}{2}\,$ (c'est-à-dire que $ee = e\,$ et $e^*e^* = e^*\,$). Ces deux éléments sont nuls :

$\lVert e \rVert = \lVert e^* \rVert = e^* e = 0$

Il est souvent commode d'utiliser e et e^* comme une base alternative pour le plan complexe fendu. Cette base est appelée la base diagonale ou base nulle. Le nombre complexe fendu z peut être écrit dans la base nulle sous la forme

$z = x + j.y = (x - y)e + (x + y)e^*\,$

Si nous notons le nombre

$z = ae + be^*\,$ pour les nombres réels a et b par (a,b) alors la multiplication complexe fendue est donnée par

$(a_1,b_1)(a_2,b_2) = (a_1a_2,b_1b_2)\,$.

Dans cette base, il devient clair que les nombres complexes fendus sont isomorphes à la somme directe $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}\,$ avec l'addition et la multiplication définie ci-dessus.

Le conjugué complexe fendu dans la base diagonale est donné par

$(a,b)^* = (b,a)\,$

et la norme par

$\lVert (a,b) \rVert = ab$

Géométrie

L'ensemble des points z tels que $z : \lVert z \rVert = a^2\,$ est une hyperbole pour tout a de $\mathbb{R}$ différent de zéro. L'hyperbole est constitué d'une branche gauche et droite passant par a et - a. Le cas a = 1 est appelé l'hyperbole unité. L'hyperbole conjuguée est donnée par

$z : \lVert z \rVert = - a^2\,$

avec une branche supérieure et inférieure passant par ja et - ja. L'hyperbole et l'hyperbole conjuguée sont séparée par deux asymptotes diagonales qui forment l'ensemble des éléments nuls :

$z : \lVert z \rVert = 0\,$

Ces deux droites (parfois appelées le cône nul) sont perpendiculaires et ont des pentes de $\pm 1\,$.

L'analogue de la formule d'Euler pour les nombres complexes fendus est

$e^{(j.\theta)} = \cosh(\theta) + j.\sinh(\theta)\,$

Ceci peut être déduit du développement en série de puissances utilisant le fait que cosh a seulement des puissances paires tandis que sinh a des puissances impaires. Pour toutes les valeurs réelles de l'angle hyperbolique $\theta\,$, le nombre complexe fendu $\lambda = e^{(j.\theta)}\,$ est de norme 1 et est lié à la branche droite de l'hyperbole unité.

Puisque $\lambda\,$ est de norme 1, en multipliant tout nombre complexe fendu z par $\lambda\,$, la norme de z est préservée et représente une rotation hyperbolique (aussi appelée une transformation de Lorentz). En multipliant par $\lambda\,$ la structure géométrique est préservée, prenant les hyperboles par elles-mêmes et le cône nul par lui-même.

L'ensemble de toutes les transformations du plan complexe fendu qui préserve la norme (ou de manière équivalente, le produit interne) forme un groupe appelé le groupe orthogonal généralisé O(1,1). Ce groupe est constitué des rotations hyperboliques - qui forme un sous-groupe noté $SO^+(1,1)\,$ - combiné avec quatre réflexions discrètes données par

$z\mapsto\pm z$ et $z\mapsto\pm z^{*}$.

L'application exponentielle

$\exp : \mathbb{R} \rightarrow SO^+(1,1)\,$

qui associe $\theta\,$ à la rotation par $e^{(j.\theta)}\,$ est un isomorphisme de groupe puisque la formule usuelle des exponentielles s'applique :

$e^{j(\theta+\phi)} = e^{j\theta}e^{j\phi}\,$

Propriétés algébriques

En termes d'algèbre générale, les nombres complexes fendus peuvent être décrits comme le quotient de l'anneau polynomial $\mathbb{R}[x]\,$ par l'idéal généré par le polynôme formel $X^2 - 1\,$,

$\mathbb{R}[x]/(x^2 - 1)\,$.

L'image de x dans l'ensemble-quotient est l'unité imaginaire j. Avec cette description, il est clair que les nombres complexes fendus forment un anneau commutatif de caractéristique 0. De plus, si nous définissons une multiplication scalaire de manière évidente, les nombres complexes fendus forment une algèbre associative et commutative sur les nombres réels de dimension deux. L'algèbre n'est pas un corps puisque les éléments nuls ne sont pas inversibles. En fait, tous les éléments nuls différents de zéro sont des diviseurs de zéro. Puisque l'addition et la multiplication sont des opérations continues en respectant la topologie usuelle du plan, les nombres complexes fendus forment un anneau topologique.

Les nombres complexes fendus ne forment pas une algèbre normée dans le sens usuel du mot puisque la « norme » n'est pas définie positivement. Néanmoins, si on étend la définition pour inclure les normes de signature générale, ils forment une telle algèbre. Ceci s'ensuit du fait suivant

$\lVert zw \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert\,$

Pour un exposé sur les algèbres normées de signatures générales, voir la référence par Harvey.

Les nombres complexes fendus sont un cas particulier d'une algèbre de Clifford. Nommément, ils forment une algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une dimension avec une forme quadratique définie négativement. Comparer ceci avec les nombres complexes qui forment une algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une dimension avec une forme quadratique définie positivement. (NB : certains auteurs permutent les signes dans la définition d'une algèbre de Clifford ce qui interchangera le sens de définie positivement et de définie négativement).

Représentations matricielles

Comme dans le cas des nombres complexes (usuels), on peut facilement représenter les nombres complexes fendus par les matrices. Le nombre complexe fendu

$z = x + j.y = 1.x + j.y\,$

peut être représenté par la matrice

$z \mapsto \begin{bmatrix}x & y \\ y & x\end{bmatrix}$

car

$1 \mapsto \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

et

$j \mapsto \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$

L'addition et la multiplication des nombres complexes fendus sont alors donnés par l'addition et la multiplication matricielle. La norme de z est donnée par le déterminant de la matrice correspondante. La conjugaison complexe fendue correspond à la multiplication des deux cotés par la matrice

$C = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$

La rotation hyperbolique par $e^{(j.\theta)}\,$ correspond à la multiplication par la matrice

$\begin{bmatrix}\cosh\theta & \sinh\theta \\ \sinh\theta & \cosh\theta\end{bmatrix}$

En travaillant dans la base diagonale, cela nous conduit à la représentation matricielle diagonale

$z \mapsto \begin{bmatrix}x - y & 0 \\ 0 & x + y\end{bmatrix}$

Les rotations hyperboliques dans cette base correspond à la multiplication par

$\begin{bmatrix}e^{-\theta} & 0 \\ 0 & e^{\theta}\end{bmatrix}$

qui montre qu'elles sont des applications encadrantes.

Histoire

L'usage des nombres complexes fendus remonte à 1848 lorsque James Cockle exposa ses Tessarines. William Kingdon Clifford utilisa les nombres complexes fendus pour représenter les sommes de spins en 1882. Clifford appela les éléments « motors ».

Dans le vingtième siècle, les nombres complexes fendus devinrent une plateforme commune pour décrire les transformations de Lorentz de la relativité restreinte, dans un espace-temps plat car un changement de vitesse entre des cadres de référence est élégamment exprimé par une rotation hyperbolique.

En 1935, J.C. Vignaux et A. Duranona y Vedia développèrent l'algèbre et la théorie des fonctions géométriques complexes fendues dans quatre articles dans Contribucion a las Ciencias Fisicas y Matematicas, Universidad Nacional de La Plata, Republica Argentina (en espagnol).

Plus récemment, le plan des nombres complexes fendus a été exploité pour exprimer des idées mathématiques, des requêtes et des fonctions. C'est un pont important entre une structure comme le plan complexe ordinaire et le caractère exotique des créations modernes.

Synonymes

• (Réel) Tessarines James Cockle 1848
• (Algébrique) motors W.K. Clifford 1882
• numeros complejos hiperbolicos J.C. Vignaux 1935
• double nombres I.M. Yaglom 1965 et Hazewinkle 1990
• anormal-complex Zahlen W. Benz 1973
• nombres perplexes P. Fjelstad 1986
• nombres de Lorentz F.R. Harvey 1990
• nombres complexes hyperboliques G. Sobczyk 1995
• nombres complexes fendus B. Rosenfeld 1997

Voir aussi

• Espace de Minkowski
• Groupe de Lorentz
• Algèbre de Clifford
• Coquaternion

Références et liens externes

• Benz, W. (1973)Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
• Cockle, James (1848) « A New Imaginary in Algebra », London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine (3) 33:345-9.
• Fjelstadt, P. (1986)"Extending Special Relativity with Perplex Numbers", American Journal of Physics 54:416.
• F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
• Hazewinkle, M. (1990) editor Encyclopaedia of Mathematics Soviet/AMS/Kluyer, Dordrect.
• Literature review: The Motor Plane D
• Rosenfeld, B. (1997) Geometry of Lie Groups Kluwer Academic Pub.

• Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane (PDF)

• Clifford, W.K., Mathematical Works (1882) edited by A.W.Tucker, pp.392-4, « Further Notes on Biquaternions »
• Vignaux, J.(1935) « Sobre el numero complejo hiperbolico y su relacion con la geometria de Borel », Contribucion al Estudio de las Ciencias Fisicas y Matematicas, Universidad Nacional de la Plata, Republica Argentina.

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