Approximation de Bernstein

En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue f définie sur l'intervalle [0,1] par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cela donne une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.

Ces polynômes sont de la forme

$B^n_k(x)=C_n^k x^k (1-x)^{n-k}$

pour un entier n, où $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial, c'est-à-dire le nombre de combinaisons d'un ensemble de k éléments (sans les distinguer) parmi n. On construit donc une approximation de f par la fonction

$b_n(f,x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nf\left(\frac kn\right)B^k_n(x).$

On construit $b_n(f,\cdot)$ à partir des valeurs de f aux points 0, ¹⁄_n, …, ^(n-1)⁄_n, 1 mais, en ces points, la valeur de $b_n(f,\cdot)$ peut être différente de celle de f, autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.

La convergence uniforme de b_n(f,x) vers f s'énonce donc de la façon suivante : pour tout ε > 0, il existe un entier n tel que :

pour tout entier $m\ge n$ et tout $x\in[0,1],\qquad|f(x)-b_m(f,x)|<\epsilon.$

Il convient de noter que si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres (n,x), alors b_n(f,x) n'est rien d'autre que l'espérance de f(X / n), c'est-à-dire la moyenne de f appliquée au nombre de succès de n expériences indépendantes de probabilité $x\,$. La convergence simple de b_n(f,x) (c'est-à-dire pour chaque point x) vers f(x) est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre ^X⁄_n et x, on en déduit facilement la convergence uniforme de $b_n(f,\cdot)$ vers f.

Bibliographie

• S. Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912

Articles connexes

• Théorème de Bernstein (théorie de l'approximation) (en)
• Inégalité de Jackson (en)
• Approximation de Korovkine (de), cf (en) N. L. Carothers, Real analysis, CUP, 2000 (ISBN 9780521497565), p. 186