Métrique (mathématiques)

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En mathématiques, une métrique ou distance est une fonction qui définit la distance entre les éléments d'un ensemble. Un ensemble muni d'une distance est appelé un espace métrique. Toute distance induit une topologie sur un ensemble mais la réciproque est fausse : un espace topologique n'est pas toujours métrisable.

En géométrie différentielle, le mot "métrique" est aussi utilisé pour faire référence à une structure définie seulement sur un espace vectoriel qui est plus proprement qualifié un tenseur métrique (ou riemannien ou métrique pseudo-riemannienne).

Définitions

Une distance sur un ensemble X est une fonction de X dans l'ensemble $\mathbb{R}\,$ des nombres réels

$d : X \times X \rightarrow \mathbb{R}\,$

qui satisfait les conditions suivantes pour tous x, y, z dans X :

1. $d(x,~y) = 0\,$ si et seulement si $x = y\,$ (identité des indiscernables)
2. $d(x,~y) = d(y,~x)\,$ (symétrie)
3. $d(x,~z) \le d(x,~y) + d(y,~z)\,$ (inégalité triangulaire).

Une distance d sur X est dite intrinsèque (en) si deux points quelconques x et y dans X peuvent être joints par un arc rectifiable de longueur arbitrairement proche de d(x, y).

Une distance d sur un groupe commutatif (X, + ) est dite invariante par translation si

$d(x,~y) = d(x + a,~y + a)\,$ quels que soient x,y et a dans X.

Sur un groupe non commutatif on a les notions d'invariance à gauche et d'invariance à droite.

Si l'inégalité triangulaire est renforcée par

$d(x,~z) \le \max(d(x,~y), d(y,~z))\,$

la distance est dite ultramétrique.

Remarques

Ces conditions expriment les notions intuitives du concept de distance. Par exemple, que la distance entre des points distincts est strictement positive et que la distance de x à y est la même que la distance de y à x. L'inégalité triangulaire signifie que la distance parcourue directement entre x et z, n'est pas plus grande que la distance à parcourir en partant d'abord de x vers y puis de y vers z. Euclide dans ses travaux démontra que la plus courte distance entre deux points est une droite, ce qui était l'inégalité triangulaire pour sa géométrie.

Des propriétés 1, 2 et 3 il découle que d est à valeurs positives : pour tous x et y dans X, d(x, y) ≥ 0.

Exemples

• La distance discrète : si x = y alors $d(x,~y) = 0\,$ et sinon, $d(x,~y) = 1\,$.
• La distance euclidienne est invariante par translation.
• Plus généralement, toute distance induite par une norme (voir ci-dessous) est invariante par translation.
• (Voir Espace localement convexe) : si $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ est une suite de semi-normes sur un espace vectoriel E alors

$d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}\,$

est un écart sur E définissant la même topologie. (On peut remplacer $\frac{1}{2^n}$ par n'importe quelle suite sommable (a_n) de réels strictement positifs.)

Équivalences de distances

Pour un ensemble donné X, deux distances $d_1\,$ et $d_2\,$ sont dites topologiquement équivalentes (respectivement : uniformément équivalentes) si l'application identité

$id : (X,d_1) \rightarrow (X,d_2)\,$

est un homéomorphisme (respectivement : un automorphisme d'espace uniforme).

Lien entre normes et distances

Étant donné un espace vectoriel normé $(X, \|\cdot\|)\,$ on peut définir une distance sur X par

$d(x,y) : = \|x-y\|\,$.

La distance d est dite "induite par" la norme $\|\cdot\|\,$.

Inversement, si une distance d sur un espace vectoriel X satisfait les propriétés

• $d(x,y) = d(x+a,y+a)\,$ (invariance par translation)
• $d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha| d(x,y)\,$ (homogénéité)

alors, on peut définir une norme sur X par

$\|x\| : = d(x,0)\,$

De manière similaire, la donnée d'une semi-norme sur un espace vectoriel réel équivaut à celle d'un écart homogène invariant par translation.

Systèmes axiomatiques alternatifs

Certains auteurs utilisent la droite réelle achevée et permettent à la fonction distance d d'atteindre la valeur $\infty\,$. Une telle métrique est appelée une métrique étendue.^{[réf. nécessaire]} Chaque "métrique étendue" d peut être remplacée par une distance d₁ ou d₂ en posant

$d_1(x,y) = \frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)}\qquad{\rm ou}\qquad d_2(x,y) = \min(1, d(x,y))$

et les deux concepts d'espace métrique sont par conséquent équivalents du point de vue topologique (i.e. pour ce qui est des notions de continuité et de convergence).

En affablissant la propriété 1 on obtient les espaces pseudométriques. En enlevant la propriété 2 à la place, on obtient les espaces quasimétriques. Souvent, en même temps qu'on enlève la propriété 2 de symétrie, on affaiblit la propriété 1 en remplaçant, dans l'équivalence, $d(x,y)=0\,$ par : $d(x,y)=0\,$ et $d(y,x)=0\,$. En enlevant la propriété 3, on obtient les espaces semimétriques. Toutes les combinaisons ci-dessus sont possibles et sont identifiées par les noms correspondants (tel que quasi-pseudo-ultramétrique).^{[réf. nécessaire]}

Parmi les catégories correspondant aux diverses variantes de distance, celle des espaces pseudométriques étendus, avec comme morphismes les applications 1-lipschitziennes, est celle qui se comporte le mieux : on peut y construire des produits et des coproduits arbitraires et former des objets quotients. Si on enlève "étendu", on peut seulement prendre des produits et des coproduits finis. Si on enlève "pseudo", on ne peut plus prendre des quotients.^{[réf. nécessaire]} Les espaces d'approche sont une généralisation des espaces métriques qui maintiennent ces bonnes propriétés de catégorie.^{[réf. nécessaire]}

La condition que la distance prenne ses valeurs dans $[0,+\infty[\,$ peut être aussi assouplie en considérant des "distances à valeurs dans un ensemble ordonné filtrant". La reformulation des axiomes dans ce cas conduit à la construction des espaces uniformes : des espaces topologiques avec une structure abstraite permettant de comparer les topologies locales de points différents.

Concepts reliés

En géométrie différentielle, on considère les tenseurs métriques, qui peuvent être pensés comme des fonctions distance euclidienne "infinitésimales", et sont définis comme des produits scalaires sur l'espace tangent avec une condition de dérivabilité appropriée. Ils ne sont pas des distances au sens défini dans cet article, mais ils en induisent par intégration. Une variété avec un tenseur métrique est appelé une variété riemannienne. Si on enlève l'exigence que le produit scalaire soit défini positif, on obtient un tenseur métrique pseudo-riemannien, qui s'intègre en une pseudométrique. Ceux-ci sont utilisés dans l'étude géométrique de la théorie de la relativité, où le tenseur est aussi appelé la "distance invariante"^{[réf. nécessaire]}.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Metric (mathematics) » (voir la liste des auteurs)