Méthode des Eléments Finis Etendus

Méthode des Eléments Finis Etendus

Méthode des éléments finis étendus

La Méthode des éléments finis (MEF) est un outil bien maîtrisé actuellement, tant d'un point de vue recherche et développement que d'un point de vue utilisation dans l'industrie. C'est une méthode robuste qui a fait ses preuves, mais les défis d'aujourd'hui et de demain présentent de nouveaux enjeux et trouvent des limites à la MEF. Récemment, le concept d'Éléments Finis Etendus (X-FEM) a été introduit pour tenir compte des problèmes de convergence des éléments finis près d'éventuels singularités du domaine.

Origine

La méthode des X-FEM est la généralisation de méthodes pour traiter la fissuration en éléments finis. La présence de singularités (fissures, perforations, etc...) dégrade fortement la convergence de la MEF, et donc il ne suffit pas de raffiner fortement le maillage à proximité des singularités pour obtenir une bonne solution.

Différentes approches ont été proposées pour pallier ce problème, la plupart reposant sur l'introduction de fonctions capables de représenter ce qu'il se passe au niveau de la fissure, mais souvent ces approches faisaient perdre la bonne prise en compte des conditions aux limites.

En 1996 Babuska et Melenk on introduit un méthode permettant d'avoir les fonctions décrivant la singularité tout en respectant les conditions aux limites. Ils ont montré qu'avec cette méthode, l'on retrouvait le taux de convergence normal.

Principes de base et applications

On sait que les singularités en pointe de fissure peuvent être approchées par :

 K_I \frac{\underline{\varphi_I (\underline{M})}}{\sqrt{r}} + K_{II} \frac{\underline{\varphi_{II} (\underline{M})}}{\sqrt{r}} + K_{III} \frac{\underline{\varphi_{III} (\underline{M})}}{\sqrt{r}}

r est la distance du point \underline{M} à la pointe de fissure.

L'idée principale est donc d'introduire les inconnues K_I,\ K_{II},\ K_{III} et les fonctions de forme \frac{\varphi_{I/II/III}}{\sqrt{r}}, mais ces fonctions n'ont pas les propriétés voulues dans une MEF, notamment sur le bord.

Si l'on a m nœuds pour décrire le domaine, dont m^\prime sont des nœuds intérieurs, alors grâce à la propriété de partition de l'unité des fonctions de formes EF on a :

R=\displaystyle\Sigma_{i=1}^{m^\prime} \varphi_i (\underline{M}) = \left\{ \begin{matrix} 1 &\text{ si }& \underline{M}\in \Omega^{\!\!\!\!^{{ }^{o}}}\\ 0 &\text{ si }& \underline{M}\in\partial\Omega\end{matrix}\right.


On peut donc régulariser (au sens des conditions sur le bord) les fonctions de singularité en les multipliant par R.

L'idée introduite par Babuska et Melenk, est donc d'introduire comme fonction de forme des fonction capables de prendre en compte la singularité que l'on veut traiter (connues par différentes approches matériaux) et de les régulariser sur le bord grâce à la fonction R qui préserve les propriétés des fonctions introduites sur l'intérieur du domaine.

La méthode des X-FEM est une généralisation de cette idée, où l'on s'autorise à enrichir les éléments avec des fonctions régularisées, de manière à pouvoir décrire la répartition spatiale de matière.

Certains pensent qu'il est possible de rentrer toute la complexité d'une structure dans les fonctions de forme, et ainsi faire n'importe quel calcul sur un cube, au lieu de mailler une géométrie compliquée.

Voir aussi

Méthode des éléments finis The Partition of Unity Method (1996), I. Babuska, J. M. Melenk, http://en.scientificcommons.org/165985

Ce document provient de « M%C3%A9thode des %C3%A9l%C3%A9ments finis %C3%A9tendus ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Méthode des Eléments Finis Etendus de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Methode des elements finis etendus — Méthode des éléments finis étendus La Méthode des éléments finis (MEF) est un outil bien maîtrisé actuellement, tant d un point de vue recherche et développement que d un point de vue utilisation dans l industrie. C est une méthode robuste qui a… …   Wikipédia en Français

  • Méthode des éléments finis étendus — La méthode des éléments finis (MEF) est un outil bien maîtrisé actuellement, tant d un point de vue recherche et développement que d un point de vue utilisation dans l industrie. C est une méthode robuste qui a fait ses preuves, mais les défis d… …   Wikipédia en Français

  • Methode des elements finis — Méthode des éléments finis Pour les articles homonymes, voir Élément. Solution bidimensionnelle d une équation magnétostatique obtenue par éléments fin …   Wikipédia en Français

  • Méthode Des Éléments Finis — Pour les articles homonymes, voir Élément. Solution bidimensionnelle d une équation magnétostatique obtenue par éléments fin …   Wikipédia en Français

  • Méthode des éléments finis — Pour les articles homonymes, voir Élément. Solution bidimensionnelle d une équation magnétostatique obtenue par éléments finis (les lignes donnent la direction du champ et la couleur son intensité) …   Wikipédia en Français

  • Éléments finis — Méthode des éléments finis Pour les articles homonymes, voir Élément. Solution bidimensionnelle d une équation magnétostatique obtenue par éléments fin …   Wikipédia en Français

  • Méthode des différences finies — En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Fonctions d'Argyris — Les fonctions d’Argyris (ou éléments d’Argyris) sont un outil en méthodes des éléments finis. Elles sont utilisées pour décrire un polynôme dans un triangle d’un maillage en employant seulement des données connues sur le bord du triangle (comme… …   Wikipédia en Français

  • Systemes multicorps — Systèmes multicorps Le concept de système multicorps est utilisé en mécanique pour modéliser le comportement dynamique de corps rigides et/ou flexibles connecté les uns aux autres par des liaisons mécaniques, chacun de ses corps décrivant de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”