Méthode De Crank-Nicolson


Méthode De Crank-Nicolson

Méthode de Crank-Nicolson

Simulation de l'expérience des fentes de Young pour un électron, avec la méthode de Crank-Nicolson.

En mathématiques, en analyse numérique, la méthode de Crank-Nicolson est un algorithme simple permettant de résoudre des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Cette méthode utilise les différences finies pour approcher une solution du problème : elle est numériquement stable[1],[2] et quadratique pour le temps. On peut facilement la généraliser à des problèmes à deux ou trois dimensions.[3]

Cette méthode, publiée en 1947, est le résultat des travaux de la mathématicienne britannique Phyllis Nicolson[4] (1917 — 1968) et du physicien John Crank[5] (1916 — 2006). Ils l'utilisèrent dans la résolution de l'équation de la chaleur. [6]

Son efficacité et sa simplicité en font un outil courant dans les simulations numériques, pour résoudre des problèmes de mécanique quantique, de thermodynamique hors-équilibre[7],[8], de mécanique des fluides[9] et d'électromagnétisme[10]. Par ailleurs, un certain nombre de phénomènes pouvant être ramenés à l'étude de l'équation de la chaleur, son champ d'application est relativement étendu : à partir du modèle Black-Scholes, on peut par exemple utiliser la méthode de Crank-Nicolson à la finance.

Sommaire

Principes

On peut comprendre la méthode de Crank-Nicolson comme la moyenne temporelle de ce que donne la méthode d'Euler progressive et de la méthode d'Euler régressive. Elle consiste à intégrer dans le temps par la méthode des trapèzes et à utiliser les différences finies dans l'espace.

Cette méthode est inconditionnellement stable, mais nécessite certaines conditions de régularité sur les équations à résoudre pour que le résultat ait une précision satisfaisante.[2]

Voir aussi

Notes et références

  1. (fr) Comparaison de la stabilité de différentes méthodes d'intégration numérique, Université catholique de Louvain.
  2. a  et b (fr) Les espaces de Sobolev, Université de Liège.
  3. (en) « The alternating segment difference scheme for Burgers' equation», Shandong University, 2005. ISSN 0271-2091.
  4. (en) Biographie : Phyllis Nicolson.
  5. (en) Biographie : Jonh Crank.
  6. (en) J.Crank, P.Nicolson : « A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type », Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1947.
  7. (en) Résolution de l'équation de la chaleur par la méthode de Crank-Nicolson, Université d'État de Californie à Fullerton.
  8. (en) Simulation d'une interface thermique par la méthode de Crank-Nicolson.
  9. (fr) d'un écoulement incompressible, étudié par la méthode de Crank-Nicolson.
  10. (en) Résolution des équations de Maxwell par la méthode de Crank-Nicolson, INRIA.

Bibliographie

  • (en) P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne « The Mathematics of Financial Derivatives : A Student Introduction », Cambridge University Press, 1995.
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