Moyenne de Reynolds

Dans le cadre du traitement en mécanique des fluides de la turbulence, l'utilisation de la décomposition de Reynolds appliquée aux solutions de l'équation de Navier-Stokes permet de simplifier le problème en faisant disparaitre les fluctuations de périodes et d'amplitudes courtes^[1].

L'équation de Navier-Stokes

On rappelle la forme de l'équation de Navier Stokes dans le cas des fluides incompressibles:

$\rho \partial_tu_i+\sum_j \rho u_j\partial_ju_i =-\rho g_i+ \sum_j \partial_j\sigma_{i,j}$

avec les notations

$\partial_t=({\partial \over {\partial t}})$

$\partial_j=({\partial \over {\partial x_j}})$

ou encore sous une forme plus compacte:

$\rho \partial_t\bold{u}+ \rho (\bold{u}.\bold{\nabla})\bold{u} =-\rho \bold{g}+ \nabla_j . (\overline{\overline{\sigma}})_{i,j}$

où u_i(t,x_j)représente la ième composante du champ de vitesses instantanées à l'instant t aux coordonnées (x₁,x₂,x₃) dans le fluide, $\partial_t u$ et $\partial_i u$ représentent respectivement les dérivations partielles par rapport au temps et par rapport à la ième coordonnée spatiale, ρ représente la densité du fluide, ici constante d'après l'hypothèse d'incompressibilité et $\overline{\overline\sigma}$ le tenseur des contraintes défini par ses composantes:

$\sigma_{i,j}=-p\delta_{i,j}+\mu(({\partial u_i \over \partial r_j})+({\partial u_j \over \partial r_i}))$

où δ_i,j vaut 1 si i=j et 0 sinon;

Décomposition de Reynolds

L'utilisation de la décomposition de Reynolds se justifie lorsqu'on a affaire à un phénomène présentant un spectre séparé en deux parties nettement distinctes: une bande de basses fréquences ou de régime quasi-permanent, de contribution moyenne sinon constante, du moins variant peu au cours du temps, nettement séparée d'une bande de régimes transitoires de haute fréquence et de contribution moyenne nulle. Ainsi:

Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \bold{u}(t,\bold{r})= \overline \bold{u}(t,\bold{r})+\bold{u'}(t,\bold{r})

où la barre au-dessus du u signale la moyenne glissante sur l'échelle choisie, l'apostrophe sur le u signale le terme d'écart par rapport à cette moyenne. Attention! Il ne s'agit pas forcément d'une perturbation! Cet artifice permet de découpler le problème du flux de base soumis à la viscosité turbulente, du problème de la turbulence elle-même.

Moyenne de Reynolds et équation de Reynolds

Le principe repose sur la décomposition d'une variable entre sa moyenne et ses fluctuations, soit :

$u(\mathbf{r},t) = \bar{u}(\mathbf{r}) + u^\prime(\mathbf{r},t) \,$ ^[2]

avec $\mathbf{r} = (x,y,z)$ est le vecteur position,

Or par définition la moyenne suit les règles suivantes :

$\overline{\overline{f}} = \bar{f}$

$\overline{f+g} = \bar{f} + \bar{g}$

$\overline{\overline{f}g} = \bar{f}\bar{g}$

$\overline{fg} \ne \bar{f}\bar{g}$

$\overline{\frac{\partial f}{\partial s}} = \frac{\partial \bar{f}}{\partial s}$

et de même par définition $\bar{u^\prime} = 0$, ce qui va simplifier les calculs.

Les équations de la conservation de la matière (équation de continuité) et de la quantité de mouvement sont :

$\frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0$

$\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = f_i - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_j}$

En remplaçant les variables par la notion de moyenne

$u_i = \bar{u_i} + u_i^\prime, p = \bar{p} + p^\prime$, etc^[3].

En moyennant les Équations de Navier-Stokes (ce qui a pour effet de faire disparaitre les termes de fluctuation rapides, qui sont de moyenne nulle), elles deviennent :

$\overline{\frac{\partial u_i}{\partial x_i}} = \overline{ \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_i} + \frac{\partial u_i^\prime}{\partial x_i}} = \overline{ \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_i}} + \overline{\frac{\partial u_i^\prime}{\partial x_i}} = \frac{\partial \overline{\overline{u_i}}}{\partial x_i} + \frac{\partial \overline{u_i^\prime}}{\partial x_i}= \frac{\partial \overline{\overline{u_i}}}{\partial x_i} = \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_i} = 0$

$\frac{\partial \bar{u_i}}{\partial t} + \bar{u_j}\frac{\partial \bar{u_i} }{\partial x_j} + \overline{u_j^\prime \frac{\partial u_i^\prime }{\partial x_j}} = \bar{f_i} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \bar{u_i}}{\partial x_j \partial x_j}$

d'où :

$\frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_i} = 0$

$\frac{\partial \bar{u_i}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{u_j} \bar{u_i} }{\partial x_j} = \bar{f_i} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \bar{u_i}}{\partial x_j \partial x_j} - \frac{\partial \overline{u_i^\prime u_j^\prime }}{\partial x_j}$ ^[4]

Le même calcul plus général peut être mené avec le tenseur des contraintes σ_i,j au lieu de la viscosité ν. L'équation de Navier-Stokes devient l'équation de Reynolds :

$\rho({\partial{\overline u_i}\over\partial t}+\sum_j \overline u_j ({\partial \overline u_i\over \partial x_j}))= \rho \overline g_i+\sum_j({\partial\over\partial x_j})({\sigma_{i,j}-\rho\overline{u'_i u'_j}})$

ce qui peut encore s'écrire:

Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \rho({\partial_t}+ ( \bold {\overline u}.\nabla)) ({\bold {\overline u}})= \rho \overline \bold{g}+ \nabla_j .(\bold {\overline{\overline \sigma}}-\rho\overline{\bold{u'\otimes u'}})_{i,j}

Il reste donc un terme fonction des fluctuations rapides, mais seulement par le truchement de leur variance, c’est-à-dire de la moyenne de leur carré qui en fait donc un terme sinon constant du moins variant peu. Dans le cadre de l'approximation hydrodynamique, ce terme est constant et est représenté par un tenseur:$(\rho\overline{\bold{u'\otimes u'}})_{i,j}$ qui est appelé tenseur de Reynolds.

Tenseur de Reynolds

• La demi-trace du tenseur de Reynolds s'identifie de façon évidente avec la densité de l'énergie cinétique;
• La partie non diagonale du tenseur de Reynolds peut être interprétée comme un terme de viscosité supplémentaire s'appliquant à l'écoulement moyen en s'ajoutant à la viscosité cinématique ν et baptisée viscosité turbulente
• Le tenseur de Reynolds obéit à une équation de transport, qui fait apparaître elle-même un terme de degré 3 en u :$\overline{u_iu_ju_k}$

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Références

• Uriel Frish, Turbulence, Cambridge University Press, 1995
• Stephen B Pope, Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2005
• O.Darigol,Worlds of Flow, Oxford University Press, 2005: Etude historique approfondie et passionnante

Notes

1. ↑ Plus connu sous le terme anglais de RANS ou Reynolds-averaged Navier–Stokes
2. ↑ La moyenne temporelle ($\bar{X}$) de la variable (x) est définie par

   $\bar{X} = \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x\, dt.$

   ce calcul n'est pas toujours possible, pour une solution, la limite ($\bar{X}$) doit être indépendantes des conditions initiales à t₀. Pour des mouvements chaotiques, cela implique la restriction qu'il y a un seul attracteur, en conséquence il faudra faire attention à T et t₀ pour que la moyenne représente la réalité.
3. ↑ En effet

   $\frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime \right)}{\partial x_i} = 0$

   $\frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial t} + \left( \bar{u_j} + u_j^\prime\right) \frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial x_j} = \left( \bar{f_i} + f_i^\prime\right) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \left(\bar{p} + p^\prime\right)}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial x_j \partial x_j}$

   la moyenne de ces équations est,

   $\overline{\frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime \right)}{\partial x_i}} = 0$

   $\overline{\frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial t}} + \overline{\left( \bar{u_j} + u_j^\prime\right) \frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial x_j}} = \overline{\left( \bar{f_i} + f_i^\prime\right)} - \frac{1}{\rho} \overline{\frac{\partial \left(\bar{p} + p^\prime\right)}{\partial x_i}} + \nu \overline{\frac{\partial^2 \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial x_j \partial x_j}}$

   il est à noter que le terme non linéaire ( $\overline{u_i u_i}$) est simplifié en, $\overline{u_i u_i} = \overline{\left( \bar{u_i} + u_i^\prime \right)\left( \bar{u_i} + u_i^\prime \right) } = \overline{\bar{u_i}\bar{u_i} + \bar{u_i}u_i^\prime + u_i^\prime\bar{u_i} + u_i^\prime u_i^\prime} = \bar{u_i}\bar{u_i} + \overline{u_i^\prime u_i^\prime}$
4. ↑ $\frac{\partial \bar{u_j} \bar{u_i} }{\partial x_j} = \bar{u_j}\frac{\partial \bar{u_i} }{\partial x_j} + \bar{u_i}\frac{\partial \bar{u_j} }{\partial x_j}$ or d'après l'équation de continuité $\frac{\partial \bar{u_j} }{\partial x_j} = 0$

   de même$\frac{\partial \overline{u_i^\prime u_j^\prime }}{\partial x_j} = \overline{u_j^\prime \frac{\partial u_i^\prime }{\partial x_j}} +\overline{u_i^\prime \frac{\partial u_j^\prime }{\partial x_j}}$ or d'après l'équation de continuité : $\frac{\partial u_j}{\partial x_j} = \frac{\partial \bar{u_j}}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j^\prime}{\partial x_j} = 0$ et $\frac{\partial \bar{u_j} }{\partial x_j} = 0$ donc $\frac{\partial u_j^\prime }{\partial x_j} = 0$