Monomorphisme

Dans le cadre de l'algèbre générale ou de l'algèbre universelle, un monomorphisme est simplement un homomorphisme injectif.

Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme (aussi appelé mono) est un morphisme simplifiable à gauche, c'est-à-dire une application $f\colon X \to Y$ telle que

$f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2$ pour tout morphisme $g_1, g_2 \colon Z \to X$.

Les monomorphismes sont la généralisation aux catégories des fonctions injectives ; dans certaines catégories, les deux notions coïncident d'ailleurs. Mais les monomorphismes restent des objets plus généraux (voir l'exemple ci-dessous).

Le dual d'un monomorphisme est un épimorphisme (c'est-à-dire qu'un monomorphisme dans la catégorie C est un épimorphisme dans la catégorie duale C^op).

Terminologie

Les termes consacrés monomorphisme et épimorphisme ont été originellement introduits par Bourbaki, qui utilisait monomorphisme comme raccourci pour désigner les fonctions injectives. Plus tard, les théoriciens des catégories ont pensé que la généralisation correcte d'injectivité aux cas des catégories fut celle donnée par Bourbaki, même si ce n'est pas exactement vrai pour le cas des applications de type monomorphisme, ce qui a causé quelques malentendus, contrairement aux cas des épimorphismes. Saunders Mac Lane a tenté de faire la distinction entre ce qu'il appelle monomorphisms, qui sont des applications concrètes et dont les applications sous-jacentes sur des ensembles sont injectives, et les applications monics, qui sont des monomorphismes au sens propre des catégories. Cependant, cette distinction ne s'est jamais généralisée.

Inversibilité

Les applications inversibles à gauche sont nécessairement mono: si l est l'inverse à gauche de f (c'est-à-dire lf = id_X), alors f est mono, car

$f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies lfg_1 = lfg_2 \implies g_1 = g_2$

Une application inversible à gauche est appelée un split mono.

Une application $f\colon X \to Y$ est mono si et seulement si l'application $f_*\colon \operatorname{Hom}(Z,X) \to\operatorname{Hom}(Z,Y)$ est injective pour tout Z.

Exemples

Tout morphisme d'une catégorie concrète dont les fonctions sous-jacentes sont injectives est un monomorphisme. Dans une catégorie d'ensembles, la réciproque est vraie, et donc les monomorphismes sont exactement les morphismes injectifs. La réciproque est également vraie dans la plupart des catégories usuelles de par l'existence d'objets libres sur un générateur. En particulier, c'est vrai pour les catégories de groupes et d'anneaux, et pour toute catégorie abélienne.

En revanche, tous les monomorphismes ne sont pas nécessairement injectifs dans d'autres catégories. Par exemple, dans la catégorie Div des groupes abéliens divisibles et des homomorphisme de groupes entre eux, il y a des monomorphismes qui ne sont pas injectifs : considérer l'application quotient q : Q → Q/Z. Elle n'est pas injective ; cependant, c'est un monomorphisme de cette catégorie. Pour le voir, noter que si q o f = q o g pour un morphisme f, g : G → Q où G est un groupe abélien divisible alors q o h = 0 où h = f - g (ce qui a un sens dans une catégorie additive). Cela implique que h(x) est entier si x ∈ G. Si h(x) n'est pas nul alors,

$h\left(\frac{x}{4h(x)}\right) = \frac{1}{4}$

donc

$(q \circ h)\left(\frac{x}{4h(x)}\right) \neq 0$,

contradiction avec q o h = 0, donc h(x) = 0 et q est donc un monomorphisme.

Concepts liés

Il existe aussi les concepts de monomorphisme régulier, monomorphisme fort et monomorphism extrémal. Un monomorphisme régulier égalise un couple de morphismes. Un monomorphisme extrémal est un monomorphisme qui ne peut être trivialement factorisé à l'aide d'un épimorphisme: plus précisément, si m=g o e avec e un épimorphisme, alors e est un isomorphisme. Un monomorphisme vérifie certaines propriétés par rapport à des diagramme commutatif impliquant un épimorphismes.

Bibliographie

• Francis Borceux (1994), Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge University Press. (ISBN 0-521-44178-1).
• George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Henry Helson Publisher, Berkeley. (ISBN 0-9655211-4-1).
• Jaap van Oosten, Basic Category Theory

Source

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Monomorphism » (voir la liste des auteurs)

Articles connexes

• Injection (mathématiques)
• épimorphisme
• isomorphisme