Moment (mathématiques)


Moment (mathématiques)
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En probabilités (mathématiques, statistiques), on définit le moment d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre m_n = \mathbb{E}[~X^n~] \,.

Sommaire

Notion de moment

La notion de moment en mathématiques, notamment en calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction f : I \to \R continue sur un intervalle I (non réduit à un point) de \R. Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de f est défini (sous réserve d'existence) par :

m_n(f)=\int_I x^n\,f(x)\,dx.

Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble des fonctions continues sur I dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application m_n : f \mapsto m_n(f) est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Estimation des moments

Lorsque le moment existe, on utilise souvent l'estimateur suivant pour le moment d'ordre k:

\hat m^k= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X^k_i\,\!

à partir de l'échantillon X_1, X_2, \cdots, X_n.

On peut montrer que cet estimateur est sans biais.

Moments centrés

On définit le moment centré d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre \mu_n = \mathbb{E}[~(X-\mathbb{E}(X))^n~] \,.

Moments remarquables

Certains moments sont connus sous un nom particulier. Ils sont utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire.

  • Le moment d'ordre un de la variable : m_1 = \mathbb{E}[X] \, (noté souvent μ, parfois m) correspond à l'espérance
  • Le moment d'ordre deux de la variable centrée : \mu_2 = \sigma^2 = \mathbb{E} \left [\left(X-\mu\right)^2\right] \, (notée V(X) ) correspond à la variance.
  • Le moment d'ordre quatre de la variable centrée-réduite : \beta_2 = \frac{\mu_4} {\sigma^4} = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] \, correspond au kurtosis.

Formules de détermination récursive des moments

En définissant

  • Les moments par rapport à l'origine (moments ordinaires ou raw moments en anglais):
m_k(X) \equiv \mathbb{E}\left[X^k\right]\,

.

  • Les moments centrés, notés généralement \mu_k(X)\, et qui se définissent ainsi :
\mu_k(X) \equiv \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^k]\,

Il existe des formules (qui ressemblent à celle du binôme) permettant de calculer un moment centré d'ordre k à partir des moments ordinaires d'ordre inférieur ou égal à k, et réciproquement ; voici quelques exemples (jusqu'à l'ordre 4) :

\mu_2 = m_2 - m^2_1\,
\mu_3 = m_3 -3\,m_1\,m_2 + 2\,m^3_1\,
\mu_4 = m_4 -4\,m_1\,m_3 + 6\,m^2_1\,m_2 - 3m^4_1\,\!
et :
m_2 = \mu_2 + m^2_1\,
m_3 = \mu_3 + 3\,m_1\mu_2 + m^3_1\,
m_4 = \mu_4 + 4\,m_1\mu_3 + 6\,m^2_1\mu_2 + m^4_1\,

Fonction génératrice des moments

Article détaillé : Fonction génératrice des moments.

La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X, définie par

M_X(t) = \mathbb{E}\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},

est utilisée afin de générer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Problème des moments

Étant donnés un intervalle réel I et une suite (mn) de nombres, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) μ telle que pour tout entier naturel n,

m_n = \int x^n~\mathrm d\mu(x)

et, le cas échéant, si une telle mesure est unique.

  • Cette question est appelée problème des moments
    • de Hamburger (de) si l'intervalle I est {}^\R tout entier ;
    • de Stieltjes s'il est égal à [0,+\infty[ ;
    • de Hausdorff si I est un segment [a,b] (c'est-à-dire lorsqu'il est fermé et borné).

Existence

L'existence d'une mesure de Borel μ sur {}^\R répondant au problème équivaut à la condition de positivité suivante sur la suite (mn) : les matrices de Hankel Hn associées à cette suite, définies par

(H_n)_{i,j}=m_{i+j},~

doivent être toutes positives.

Pour l'existence d'une mesure de Borel à support dans un segment donné [a,b], il existe une condition nécessaire et suffisante de forme similaire.

Unicité

  • Le problème de l'unicité quand l'intervalle est non borné est une question plus délicate ; voir Condition de Carleman (en), Condition de Krein (en) et la référence Akhiezer.
  • La réponse est négative dans le cas général. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction f :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R^+ définie par f(x) = \frac{1}{x\, \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\, (\ln x)^2} (densité de la loi log-normale de paramètres 0 et 1), dont tous les moments existent.
On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, \int_0^{+\infty} x^n f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, \mathrm{d}x  = 0.
Pour tout \alpha \in \R, on définit g_\alpha :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R par g_\alpha(x) = f(x)\, \left[1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)\right].
Alors : quels que soient \alpha \in \R et n \in \mathbb{N}, mn(gα) = mn(f), bien que g_\alpha \neq f dès que \alpha \neq 0.
Nota 
pour tout \alpha \in \R, \int_0^{+\infty} g_\alpha(x)\, \mathrm{d}x = 1 car m0(gα) = m0(f). Or, si on prend \alpha \in [-1,\, +1], gα est à valeurs positives : dans ce cas, gα est une densité de probabilité portée par \R^\star_+\,, distincte de f si \alpha \neq 0, dont tous les moments existent et sont les mêmes que ceux de f. Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Moment problem » (voir la liste des auteurs)
  • (en) James Alexander Shohat, et Jacob Tamarkin (en), The Problem of Moments, New York, AMS, 1943
  • (en) Naum Akhiezer (en), The classical moment problem and some related questions in analysis, traduit du russe par N. Kemmer, New York, Hafner Publishing, 1965
  • (en) M. G. Krein et A. A. Nudelman, The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development, traduit du russe par D. Louvish, Translations of Mathematical Monographs, vol. 50, Providence (RI), AMS, 1977
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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Moment (mathématiques) de Wikipédia en français (auteurs)

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