Modèle XY

Modèle XY
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir XY.

Le modèle XY ou modèle planaire est un modèle étudié en mécanique statistique. Il décrit un système dont les degrés de liberté sont des vecteurs bidimensionnels \mathbf{S}_i de norme unité placés aux nœuds d'un réseau. Ces vecteurs peuvent être représentés au moyen d'une variable angulaire ϕi sous la forme: \mathbf{S}_i=(\cos \phi_i,\sin\phi_i). En termes de la variable angulaire le Hamiltonien du modèle XY a une forme particulièrement simple:

H=-J \sum_{\langle i,j \rangle} cos (\phi_i -\phi_j),

\langle i, j \rangle indique que la somme est restreinte aux sites plus proches voisins. Ce modèle possède évidemment une symétrie globale SO(2)\equiv U(1).


Pour J > 0, le modèle XY est dit ferromagnétique. Son état de plus basse énergie est tel que \phi_i=\phi, \forall i. Pour J < 0, le modèle est dit antiferromagnétique. Sur un réseau bipartite, le modèle antiferromagnétique se ramène au modèle ferromagnétique. Sur un réseau non-bipartite comme le réseau triangulaire, le modèle est antiferromagnétique est dit frustré : il n'est pas possible de trouver un état qui minimise les interactions pour toutes les paires de sites premier voisins. L'étude des modèles XY frustrés doit se faire au cas par cas, l'état de plus basse énergie dépendant du réseau particulier considéré. Dans la suite de cet article, nous ne discutons que le cas ferromagnétique.

Dans le modèle XY en dimension 3, il existe une transition de phase entre une phase de basse température où \langle \mathbf{S}_i\rangle \ne \mathbf{0} et la symétrie globale U(1) est brisée, et une phase de haute température où \langle \mathbf{S}_i\rangle = \mathbf{0} et la symétrie globale U(1) est rétablie. \langle \mathbf{S}_i\rangle est en fait le paramètre d'ordre de cette transition de phase. Cette transition de phase est une transition du second ordre. La transition de phase du modèle XY décrit le point de Curie des systèmes ferromagnétiques avec une anisotropie plan facile. Comme la symétrie brisée dans le modèle XY (U(1)) est la même que dans la transition superfluide-normal de l'Hélium 4 et dans la transition supraconducteur-métal normal, ces deux transitions de phase sont dans la classe d'universalité du modèle XY et partagent donc les mêmes exposants critiques. Il faut toutefois noter que pour les supraconducteurs conventionnels, la région dans laquelle les exposants critiques du modèle XY sont observables (donnée par le critère de Ginzburg) est extrêmement étroite. Il en résulte que seuls les exposants donnés par la théorie de champ moyen sont observables dans ces systèmes. Dans le cas des supraconducteurs à haute température, la situation est plus favorable et des expériences ont mis en évidence les exposants critiques du modèle XY.

En dimension 2, la situation est plus complexe. Tout d'abord, le théorème de Mermin-Wagner dit qu'il est impossible en dimension 2 de briser une symétrie continue telle que U(1). Donc, le modèle XY a  \mathbf{S}_i=\mathbf{0} à toute température. Néanmoins, les calculs de série haute température indiquent que ce modèle doit cependant posséder une transition de phase en dessous d'une certaine température. Cette transition est appelée transition Berezinsky-Kosterlitz-Thouless du nom des théoriciens qui ont élucidé son mécanisme. Cette transition se caractérise par un changement du comportement des fonctions de corrélation qui passent d'une décroissance algébrique à basse température (on parle de quasi-ordre à longue distance) à une décroissance exponentielle au-dessus d'une température TBKT. A la transition, l'énergie libre et ses dérivées sont de classe C^\infty mais ne sont pas analytiques.

Références

  • N. Boccara Symétries brisées (Herrmann)
  • C. Itzykson et J. M. Drouffe Théorie Statistique des champs, volume I (CNRS-Intereditions)
  • M. Le Bellac Des phénomènes critiques aux champs de jauge (CNRS-Intereditions)
  • M. Héritier Cours de DEA sur les transitions de phase

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Modèle XY de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • MODÈLE — Le langage de la philosophie aiderait peu à éclairer l’origine de la notion de modèle, qui a reçu un emploi très large dans la méthodologie des sciences. Cette origine est technologique: le modèle est d’abord la «maquette», l’objet réduit et… …   Encyclopédie Universelle

  • Modele IS/LM — Modèle IS/LM Le modèle IS/LM est un modèle économique qui transcrit des éléments de la Théorie générale de John Maynard Keynes en termes néoclassiques. Dans le cadre d une situation de sous emploi, il permet de choisir entre différentes… …   Wikipédia en Français

  • Modèle IS-LM — Modèle IS/LM Le modèle IS/LM est un modèle économique qui transcrit des éléments de la Théorie générale de John Maynard Keynes en termes néoclassiques. Dans le cadre d une situation de sous emploi, il permet de choisir entre différentes… …   Wikipédia en Français

  • Modele XY — Modèle XY Pour les articles homonymes, voir XY. Le modèle XY ou modèle planaire est un modèle étudié en mécanique statistique. Il décrit un système dont les degrés de liberté sont des vecteurs bidimensionnels de norme unité placés aux nœuds d un… …   Wikipédia en Français

  • Modele t-J — Modèle t J Le modèle t J décrit un isolant antiferromagnétique dopé en trous. Les sites occupés par un électron portent un moment magnétique, tandis que les sites inoccupés sont non magnétiques. Ce modèle a été introduit dans le cadre de la… …   Wikipédia en Français

  • Modèle T-J — Le modèle t J décrit un isolant antiferromagnétique dopé en trous. Les sites occupés par un électron portent un moment magnétique, tandis que les sites inoccupés sont non magnétiques. Ce modèle a été introduit dans le cadre de la théorie des… …   Wikipédia en Français

  • Modèle t-j — Le modèle t J décrit un isolant antiferromagnétique dopé en trous. Les sites occupés par un électron portent un moment magnétique, tandis que les sites inoccupés sont non magnétiques. Ce modèle a été introduit dans le cadre de la théorie des… …   Wikipédia en Français

  • modelé — modelé, ée (mo de lé, lée) part. passé de modeler. 1°   Formé d après un modèle. •   Le loup, tant à l extérieur qu à l intérieur, ressemble si fort au chien qu il paraît être modelé sur la même forme ; cependant il n offre tout ou plus que le… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Modèle — Pour les articles homonymes, voir modèle (homonymie). Le terme modèle synthétise les deux sens symétriques et opposés de la notion de ressemblance, d’imitation, de représentation. En effet, il est utilisé pour désigner : soit un concept ou… …   Wikipédia en Français

  • Modèle IS/LM — Le modèle IS/LM est un modèle économique qui transcrit des éléments de la Théorie générale de John Maynard Keynes en termes néoclassiques. Dans le cadre d une situation de sous emploi, il permet de choisir entre différentes politiques économiques …   Wikipédia en Français

  • modèle — (mo dè l ) s. m. 1°   Objet d imitation. Un modèle d écriture, de broderie. Suivre, imiter le modèle. •   Salomon le bâtit [le temple] sur le modèle du tabernacle, BOSSUET Hist. II, 4. •   Étudiez la cour et connaissez la ville ; L une et l autre …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”