Modus tollens

Proposition contraposée

La contraposition (ou modus tollens) est un type de raisonnement logique consistant à affirmer une implication (« si A alors B ») et à poser ensuite la négation du conséquent (« or, non B ») pour en déduire la négation de l'antécédent (« donc non A »). En d'autres termes, puisque la cause d'une implication engendre la conséquence, alors l'absence de la conséquence implique automatiquement l'absence de la cause (tollens est le participe présent du verbe latin tollere, ôter, enlever).

La contraposition est équivalente à une implication (ou modus ponens), dont elle est considérée comme une règle dérivée. Ainsi, la proposition contraposée de la proposition

« A implique B » ("s'il pleut, alors le sol est mouillé")

est

« non-B implique non-A » ("si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas").

Si la première est vraie, alors la seconde l'est aussi. Inversement, si la seconde est vraie, la première est vraie en logique classique (cette dernière affirmation n'est cependant pas acceptée en logique intuitionniste, qui établit une différence entre les deux implications).

La contraposition exprime le fait que B est une condition nécessaire de A : on ne peut pas avoir A sans avoir B. Dans notre exemple, il n'est pas possible qu'il pleuve et que le sol ne soit pas mouillé.

Il faut bien distinguer la contraposée de la réciproque : la réciproque de « A implique B » est « B implique A ». Le fait que l'une soit vraie ne dit rien sur l'autre à moins qu'on ait montré, par ailleurs, qu'il existe une équivalence entre A et B (« A si et seulement si B ») auquel cas, l'implication et la réciproque sont toutes deux vraies. Ainsi, même si l'implication "s'il pleut, alors le sol est mouillé" est vraie, on ne peut pas rien dire sa réciproque ("si le sol est mouillé, alors il pleut").

Il ne faut pas confondre non plus la contraposition avec la négation de l'antécédent « non-A implique non-B » ("s'il ne pleut pas, alors le sol n'est pas mouillé") qui, elle, n'est pas équivalente à l'implication. Utiliser la négation de l'antécédent conduit à un raisonnement faux ou sophisme. En effet, dans notre exemple le sol peut avoir été mouillé par autre chose que la pluie, de même que le sol peut ne pas être encore sec alors que la pluie s'est arrêtée, ce n'est donc pas parce qu'il ne pleut pas que le sol n'est pas mouillé.

Notation

La proposition : « A implique B » se note

$A \Rightarrow B$.

Nous avons donc :

$A \Rightarrow B \equiv \neg{B} \Rightarrow \neg{A}$

Remarquons que l'implication logique ne présuppose aucune hiérarchie, même chronologique, entre ses éléments constituants, et est donc à bien distinguer de la causalité, en particulier si l'on note en abrégé cette dernière par le même signe « ⇒ ».

Démonstration

En logique classique, les lois de De Morgan résument la façon dont il faut permuter en logique les opérations « et » et « ou » lors de transformations de formules. La définition logique de l'implication est la suivante :

$A \Rightarrow B \equiv \neg{A} \lor B$

On obtient la même formulation avec $\neg B \Rightarrow \neg A$

En logique intuitionniste, logique qui refuse le raisonnement par l'absurde ou l'élimination de la double négation, ou en logique minimale, logique qui n'accorde aucun traitement particulier à la contradiction, les deux implications $A \Rightarrow B$ et $\neg B \Rightarrow \neg A$ n'ont pas le même statut. En effet, en définissant la négation d'une proposition par le fait que cette proposition conduit à une contradiction, on montre en logique intuitionniste que la première implication entraîne la seconde mais que la réciproque est fausse. Supposons donc que $A \Rightarrow B$, et montrons que $\neg B \Rightarrow \neg A$. Si on a $\neg B$, alors A (qui entraîne B) conduit à une contradiction. Donc on a $\neg A$. On a donc montré que, sous l'hypothèse $A \Rightarrow B$, on a $\neg B \Rightarrow \neg A$.

La réciproque nécessite l'utilisation du raisonnement par l'absurde (ou sa variante, l'élimination de la double négation). Supposons en effet que $\neg B \Rightarrow \neg A$. Si on a A, alors $\neg B$ (qui entraîne $\neg A$) conduit à une contradiction. On a donc montré que $A \Rightarrow \neg \neg B$. Mais pour montrer que $A \Rightarrow B$, on doit utiliser le fait que, si $\neg B$ conduit à une contradiction, alors B est vrai, ce qui est l'essence même du raisonnement par l'absurde.

La suite de l'article se place dans le cadre de la logique classique, où les deux implications sont équivalentes.

Applications

L'équivalence entre implication et contraposition est fréquemment utilisée en logique, au même titre que les identités remarquables en algèbre.

Les deux propositions sont équivalentes logiquement mais elles n'ont pas le même rôle dans une démonstration.

Ainsi, je prends pour exemple le théorème « si un quadrilatère est un rectangle alors il est un parallélogramme ». Il sert à démontrer qu'un rectangle a toutes les propriétés du parallélogramme (côtés opposés parallèles et de même longueur, ...).

Sa contraposée, « si un quadrilatère n'est pas un parallélogramme alors il n'est pas un rectangle » sert à démontrer qu'un quadrilatère ne vérifiant pas une des propriétés caractéristiques du parallélogramme alors il ne peut pas être un rectangle.

Comme on l'a dit plus haut, bien que la contraposée d'un théorème vrai soit toujours vraie, sa réciproque peut être fausse : « si un quadrilatère est un parallélogramme alors il est un rectangle » est faux.

Exemple

Enoncé

L'affirmation

Ceux qui parlent ne savent pas

est strictement équivalente à l'affirmation

Ceux qui savent ne parlent pas

Preuve

On substitue simplement A="(parler)" et B="non(savoir)":

    ((parler) ⇒ non(savoir))

⇔ (non(non(savoir)) ⇒ non(parler))

⇔ ((savoir) ⇒ non(parler))

Appellations différentes

Dans certains établissements d'enseignement, la preuve par contraposition est appelée "preuve par transposition".

Voir aussi

• Analyse constructive
• Démonstration
• Logique
• Logique intuitionniste
• Loi de Peirce
• Paradoxe de Hempel (utilise la contraposition pour reformuler l'hypothèse)

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