Module d'élasticité à la compression isostatique

Module d'élasticité isostatique

Le module d'élasticité isostatique^[1] ("bulk modulus" en anglais) est la constante qui relie la contrainte au taux de déformation d'un matériau isotrope soumis à une compression isostatique.

Généralement noté K, il permet d'exprimer la relation de proportionnalité entre le premier invariant du tenseur des contraintes et le premier invariant du tenseur des déformations :

MODULE D'ÉLASTICITÉ ISOSTATIQUE de quelques matériaux
Air	101 kPa (isotherme) (142 kPa en adiabatique)
Eau	2.2 GPa (augmente avec la pression)
Verre	35 à 55 GPa
Acier	160 GPa
Diamant	442 GPa

$s = K . e \,$

où :

• $s=\sum_{i} \frac{1}{3}\sigma_{ii}$ est la contrainte isostatique (en unité de pression),
• $K\;$ est le module d'élasticité isostatique (en unité de pression),
• $e=\sum_{i} \frac{1}{3}\varepsilon_{ii}$ est le taux de déformation isostatique^[2] (sans dimension).

Il s'exprime, respectivement vis à vis des coefficients de Lamé ou du module de Young et du coefficient de Poisson, par :

$K=\lambda+\frac{2}{3}\mu=\frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu)}$

Noter que :

• pour ν = 0.33 on a K = E
• pour ν → 0.5 on a K → ∞ (incompressibilité)

Les matériaux métalliques sont proches du premier cas (K ≈ E dans leur domaine élastique) alors que les élastomères s'approchent d'un comportement incompressible (K >> E).

On peut aussi exprimer K en fonction des modules d'élasticité en traction E et en cisaillement G :

$\frac{1}{K} = \frac{9}{E} - \frac{3}{G}$

Le module d'élasticité isostatique représente la relation de proportionnalité entre la pression et le taux de variation du volume :

$\Delta P = -K \cdot \frac{\Delta V}{V_0}$

C'est l'inverse du coefficient de compressibilité isotherme χ_T défini en thermodynamique par :

$\frac{1}{K} = \chi_T = -\frac{1}{V} \cdot \left ( \frac{\partial V}{\partial P} \right )_T$

Références

1. ↑ synonymes : module d'élasticité à la compression isostatique, module de rigidité à la compression, module d'élasticité cubique, module de compressibilité, module de compression hydrostatique…
2. ↑ synonymes : taux de dilatation cubique…

• P. Germain , Mécanique des milieux continus, 1962, Masson et Cie.

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