Modele de Drude

Modèle de Drude

Le modèle de Drude (du nom du physicien Paul Drude) est une adaptation effectuée en 1900 de la théorie cinétique des gaz aux électrons des métaux (découverts 3 ans plus tôt, en 1897 par J.J. Thomson). En considérant les électrons d'un métal comme des particules classiques ponctuelles confinées à l'intérieur du volume défini par l'ensemble des atomes de l'échantillon, on obtient un gaz qui est entraîné dans un mouvement d'ensemble (lequel se superpose au mouvements individuels des particules) par des champs électriques et magnétiques et freiné dans ce mouvement par des collisions. Les collisions envisagées par Drude sont les collisions sur les cœurs d'atomes. Bien que se basant sur des hypothèses démenties depuis (description purement classique du mouvement des électrons), il permet de rendre compte de plusieurs propriétés des métaux comme la conductivité électrique, la conductivité thermique et l'effet Hall.

Le modèle repose sur les hypothèses suivantes :

• Le système est assimilé à un ensemble de n électrons de charge − e par unité de volume, placés dans un milieu de particules ponctuelles de masse m sans interaction entre elles.
• On peut décrire classiquement les électrons.
• Les électrons subissent des collisions. La probabilité de subir une collision entre t et t + dt est donnée par $\frac{dt}{\tau}$, où τ est le temps moyen entre deux collisions consécutives, appelé égalememt le temps de relaxation.

Les collision auxquelles sont soumis les électrons étaient aux yeux de Drude les collisions avec les noyaux atomiques du réseau cristallin. En réalité, il s'agit de ce que l'on appelle des collisions entre électrons et phonons.

La présence des collisions a pour conséquence une force de frottement visqueux de la forme $-\frac{\mathbf{v}}{\tau}$ où $\mathbf{v}$ est la vitesse de l'électron.

On a alors, en appliquant la loi d'Ohm $\mathbf{j} = \sigma\mathbf{E}$, l'expression de la conductivité : $\sigma = \frac{ne^{2}\tau}{m}$.

Conductivité du courant continu

On considère que les électrons sont accélérés uniformément par le champ électrique E durant un intervalle de temps entre deux collisions. À la fin de ce laps de temps, à la suite de la collision, ils sont statistiquement relaxés dans leur état cinétique initial.

À tout instant, chaque i^e électron a donc une vitesse v_i qui s'écrit

$v_i=v_{0i}+\left({{-eEt_i}\over m_e}\right)~$

où v_i = v_0i est la vitesse initiale de l'électron i à l'issue du dernier choc et t_i le temps écoulé depuis celui-ci. La vitesse moyenne (au sens de la moyenne d'ensemble) qui décrit les électrons est :

$\langle v\rangle_{stat}=\langle v_i\rangle_{stat}=\langle v_{0i}\rangle_{stat}+\left\langle{{-eEt_i}\over m_e}\right\rangle_{stat}$

Comme $\langle v_{0i}\rangle_{stat}=0$ (hypothèse de chocs parfaitement aléatoires avec vitesses finales résultantes réparties autour d'une moyenne nulle) et $\langle t_i \rangle_{stat}=\tau$ (hypothèse ergodique) on obtient la formule $\langle v\rangle_{stat}=\langle v_i\rangle_{stat}={{-eE\tau}\over m_e}~$. On en déduit l'expression du courant électrique

$j=(-ne) \langle v \rangle_{stat}={{ne^2E\tau}\over m_e}$

et celle de la conductivité

$\sigma_0={{ne^2\tau}\over m_e}$.

On peut faire apparaître la fréquence de plasma ω_p en écrivant :

$\sigma_0=(\tau\cdot\epsilon_0)\omega_p^2$

Conductivité en courant alternatif

Relations entre la constante diélectrique et la conductivité

Pour calculer la conductivité dans un champ électromagnétique, nous partons des équations de Maxwell, nommément

Loi	Expression mathématique
« Loi de Coulomb »	$\nabla.D=\rho$
« Loi d'Ampère »	$\nabla \wedge H-{{ \partial D}\over{ \partial t}}=J$
« Loi de Faraday »	$\nabla \wedge E + {{ \partial B}\over{ \partial t}}=0$
« Absence de monopôles magnétiques »	$\nabla . B=0$

De ces équations nous tirons la relation entre la conductivité $\sigma~$ et la constante diélectrique $\epsilon~$ :

$\epsilon . ({\omega^2 \over c^2})- k^2= i \omega \mu_0 \sigma ~$

Calcul de la conductivité

Si nous décrivons le gaz d'électrons par sa matrice densité $\rho(P,Q)~$, celle-ci vérifie l'équation d'évolution :

${d_t \rho(P,Q)P}=\{H,\rho P \}_{Q,P} + \Sigma_+ -\Sigma_-~$

où $\{ \}_{P,Q}~$ représente le crochet de Poisson et $\Sigma_+ ,\Sigma_-~$ les termes de source et de destruction. Posons maintenant que l'hamiltonien $H= H_0+H_1~$ et que $\rho= \rho_0+\rho_1~$, où $H_1~$ et $\rho_1~$ représentent des termes perturbatifs. L'équation initiale se réécrit alors sous la forme :

${d_t \rho(P,Q)P_\alpha }=\{H_0,\rho_1 P\}_{Q,P}+\{H_1,\rho_0 P_\alpha \}_{Q,P} -{{\rho_1 P_\alpha}\over \tau}~$

En remarquant l'indépendance de $\rho_0 P_\beta ~$ de $\rho_1P_\beta~$ et de $H_0~$ par rapport à $Q_\alpha ~$ (homogénéité de la distribution des charges et invariance spatiale du hamiltonien non perturbé), il vient que la solution au premier ordre de la distribution perturbée s'écrit :

$(-i \omega + {1 \over \tau}){\rho_1 P_\alpha }= (ik_\beta x_\alpha + \delta_{\alpha \beta})eE_\alpha({{\partial \rho_0}\over {\partial P_\beta}}) ~$

En posant l'approximation des grandes longueurs d'onde (et donc k petit) on trouve la forme de la conductivité:

$\sigma={{ \epsilon_0 \tau \omega_p^2}\over{ (-i \omega \tau+ 1 )}}~$

Conductivité thermique d'un métal

Il convient de doubler l'équation de transport du courant (c’est-à-dire de transport des particules) par une équation de transport de la chaleur :

$j_q=-\kappa \nabla T$

on obtient alors que le rapport ${\kappa \over {\sigma}}$ des conductivités thermique et électrique est directement proportionnel à la température, le coefficient de proportionnalité étant désigné par le nombre de Lorenz :

$L = {\kappa \over {\sigma T}}={3\over 2}({k_b \over e})^2$

Cette loi de proportionnalité est connue sous le nom de loi de Wiedemann et Franz. Le résultat numérique indiqué ci-dessus vaut à peu près la moitié des valeurs obtenues expérimentalement. L'utilisation de la théorie du transport et du modèle quantique permet d'accéder à une valeur plus proche de la réalité pour le rapport ${\kappa \over {\sigma T}}$ (c'est-à-dire le nombre de Lorenz), la valeur obtenue étant alors :

$L = {\kappa \over {\sigma T}}={\pi^2\over 3}({k_b \over e})^2$

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