Metrique riemannienne


Metrique riemannienne

Métrique riemannienne

Les métriques riemanniennes sont les objets d'étude de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Helmholtz publie des résultats analogues.

Les métriques riemanniennes sont des collections différentiables de formes quadratiques définies positives :

  • Sur un fibré vectoriel E\rightarrow M, une métrique riemannienne g = gx est la donnée d'un produit scalaire gx sur la fibre Ex qui dépende de manière lisse du point de base x\in M. Plus formellement, x\mapsto g_x est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel des formes bilinéaires symétriques S^2E\rightarrow M. On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.
Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g'), un morphisme de fibrés riemanniens  f:(E,g)\rightarrow (F,g') est un morphisme de fibré f:E\rightarrow F tel que, pour tout x\in M, l'application linéaire f_x:E_x\rightarrow F_x est une isométrie linéaire, id est :
\forall v,w\in E_x, g'_x(f_x(v),f_x(w))=g_x(v,w)
  • Si M est une variété différentielle (de dimension n), une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne g sur le fibré tangent TM\rightarrow M. La donnée (M,g) est une variété riemannienne.
Etant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g'), une isométrie F:(M,g)\rightarrow (N,g') est une application différentiable F:M\rightarrow N telle que l'application tangente  dF:(TM,g)\rightarrow (TN,g') est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette derniere condition se reecrit :
F * g = g

Exemples

  • Tout produit scalaire < , > sur Rn induit sur tout fibré vectoriel trivial M\times R^n\rightarrow M une métrique riemannienne :
gx((x,v),(x,w)) = < x,w >
  • Soit g une métrique riemannienne sur E\rightarrow M. Pour une fonction différentiable \psi:P\rightarrow M, il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière  \psi^*E\rightarrow P une unique métrique riemannienne ψ * g telle que le morphisme naturel \psi^*E\rightarrow E soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.
  • Si g est une métrique riemannienne sur E\rightarrow M, alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel F\subset E.

Existence

Sur tout fibré vectoriel \pi:E\rightarrow M, il existe une métrique riemannienne.


Sur toute variété différentielle M, il existe une métrique riemannienne.

Voir aussi

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