Meandre (mathematiques)


Meandre (mathematiques)

Méandre (mathématiques)

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Un exemple de méandre

Un méandre est, en mathématiques, une configuration dans le plan ℝ² formée par deux courbes planes simples se coupant transversalement. Intuitivement, un méandre peut être vu comme une route coupant une rivière à travers un certain nombre de ponts. On dit méandre ouvert dans le cas ou les deux courbes sont isotopes a des droites du plan et méandre fermé dans le cas ou une courbe est fermée et l'autre isotope a une droite.

Dans le cas ouvert, on peut toujours trouver une isotopie qui envoie une des deux courbes sur une ligne droite L.

Dans le cas ouvert, le nombre de points de croisements est un nombre entier positif n.

Dans le cas fermé, on peut toujours trouver une isotopie qui envoie la courbe non compacte sur une ligne droite L.

Dans le cas fermé, le nombre de points de croisements est un nombre entier positif pair 2n.

Deux méandres sont dits équivalents s'ils sont isotopes dans le plan ℝ².

Les méandres sont des objets difficiles à compter. On ne connaît pas de formule pour le nombre Mn de méandres ayant n intersections.

On peut colorier en noir et blanc les régions du plan déterminées par un méandre en alternant.

Sommaire

Nombres méandriques

Le nombre de méandres distincts d'ordre n est le nombre méandrique Mn. Les quinze premiers nombres méandriques sont donnés ci-dessous suite A005315 de l’OEIS.

M1 = 1
M2 = 2
M3 = 8
M4 = 42
M5 = 262
M6 = 1 828
M7 = 13 820
M8 = 110 954
M9 = 933 458
M10 = 8 152 860
M11 = 73 424 650
M12 = 678 390 116
M13 = 6 405 031 050
M14 = 61 606 881 612
M15 = 602 188 541 928

Méandre ouvert

Étant donnée une droite fixée orientée L dans le plan euclidien \mathbb{R}^2\,, un méandre ouvert d'ordre n est une courbe orientée qui ne se coupe pas dans \mathbb{R}^2\, qui coupe transversalement la droite à n points pour un certain entier positif n. Deux méandres ouverts sont dits équivalents s'ils sont homéomorphes dans le plan.

Exemples

Le méandre ouvert d'ordre 1 coupe la droite une fois :

OpenMeanderM1.svg

Le méandre ouvert d'ordre 2 coupe la droite deux fois :

Open Meander M2 jaredwf.png

Nombres méandriques ouverts

Le nombre de méandres ouverts distincts d'ordre n est le nombre méandrique ouvert mn. Les quinze premiers nombres méandriques ouverts sont donnés ci-dessous suite A005316 de l’OEIS.

m1 = 1
m2 = 1
m3 = 2
m4 = 3
m5 = 8
m6 = 14
m7 = 42
m8 = 81
m9 = 262
m10 = 538
m11 = 1 828
m12 = 3 926
m13 = 13 820
m14 = 30 694
m15 = 110 954

Semi-méandre

Étant donnée une demi-droite R dans le plan euclidien \mathbb{R}^2\,, un semi-méandre d'ordre n est une courbe qui ne se coupe pas dans \mathbb{R}^2\, qui coupe transversalement la demi-droite à n points pour un certain entier positif n. Deux semi-méandres sont dits être équivalents s'ils sont homéomorphes dans le plan.

Exemples

Le semi-méandre d'ordre 1 coupe la demi-droite une fois :

Fichier:Semi-meander M1 jaredwf.png

Le semi-méandre d'ordre 2 coupe la demi-droite deux fois :

Fichier:Meander M1 jaredwf.png

Nombres semi-méandriques

Le nombre de semi-méandres distincts d'ordre n est le nombre semi-méandrique Mn (généralement noté avec une ligne au-dessus à la place d'une ligne en-dessous). Les quinze premiers nombres semi-méandrique sont donnés ci-dessous suite A000682 de l’OEIS.

M1 = 1
M2 = 1
M3 = 2
M4 = 4
M5 = 10
M6 = 24
M7 = 66
M8 = 174
M9 = 504
M10 = 1 406
M11 = 4 210
M12 = 12 198
M13 = 37 378
M14 = 111 278
M15 = 346 846

Propriétés des nombres méandriques

Il existe une fonction injective des nombres méandriques vers les nombres méandriques ouverts :

M_n = m_{2n - 1}\,

Chaque nombre méandrique peut être borné par des nombres semi-méandriques :

MnMnM2n

Pour n > 1, les nombres méandriques sont pairs :

M_n \equiv 0\, (mod 2)
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