Maximum de vraisemblance

L'estimation du maximum de vraisemblance est une méthode statistique courante utilisée pour inférer les paramètres de la distribution de probabilité d'un échantillon donné.

Cette méthode a été développée par le statisticien et généticien Ronald Fisher entre 1912 et 1922.

L'estimateur du maximum de vraisemblance peut exister et être unique, ne pas être unique, ou ne pas exister.

Définitions

Soit X une variable aléatoire réelle, de loi ou bien discrète ou bien continue, dont on veut estimer un paramètre θ. On note $\mathcal{D}_\theta$ cette famille de lois paramétriques. Alors on définit une fonction f telle que : $f(x;\theta) = \begin{cases} f_\theta(x) & \text{si X est une v.a. continue} \\ P_\theta(X=x) & \text{si X est une v.a. discrete} \end{cases}$

f_θ(x) représente la densité de X (où θ apparaît) et P_θ(X = x) représente une probabilité discrète (où θ apparaît).

On appelle vraisemblance de θ au vu des observations (x₁,...,x_i,...,x_n) d'un n-échantillon indépendamment et identiquement distribué selon la loi $\mathcal{D}_\theta$, le nombre :

$L(x_1,...,x_i,...,x_n;\theta) = f(x_1;\theta) \times f(x_2;\theta) \times ...\times f(x_n;\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$

On cherche à trouver le maximum de cette vraisemblance pour que les probabilités des réalisations observées soient aussi maximum. Ceci est un problème d'optimisation. On utilise généralement le fait que si L est dérivable (ce qui n'est pas toujours le cas) et si L admet un maximum global en une valeur $\theta = \hat \theta$, alors la dérivée première s'annule en $\theta = \hat \theta$ et que la dérivée seconde est négative. Réciproquement, si la dérivée première s'annule en $\theta = \hat \theta$ et que la dérivée seconde est négative en $\theta = \hat \theta$, alors $\theta = \hat \theta$ est un maximum local (et non global) de L(x₁,...,x_i,...,x_n;θ). Il est alors nécessaire de vérifier qu'il s'agit bien d'un maximum global. La vraisemblance étant positive et le logarithme népérien une fonction croissante, il est équivalent et souvent plus simple de maximiser le logarithme népérien de la vraisemblance (le produit se transforme en somme, ce qui est plus simple à dériver). On peut facilement construire la statistique Y_n = Θ qui est l'estimateur voulu.

Ainsi en pratique :

• La condition nécessaire

$\frac{\partial L(x_1,...,x_i,...,x_n;\theta)}{\partial \theta} = 0$

ou

$\frac{\partial \ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\theta)}{\partial \theta} = 0$

permet de trouver la valeur $\theta = \hat \theta$.

• $\theta = \hat \theta$ est un maximum local si la condition suffisante est remplie au point critique $\theta = \hat \theta$ :

$\frac{\partial^2 L(x_1,...,x_i,...,x_n;\theta)}{\partial \theta^2} \le 0$

ou

$\frac{\partial^2 \ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\theta)}{\partial \theta^2} \le 0$

Pour simplifier, dans les cas de lois continues, où parfois la densité de probabilité est nulle sur un certain intervalle, on peut omettre d'écrire la vraisemblance pour cet intervalle uniquement.

Généralisation

Pour une variable aléatoire réelle X de loi quelconque définie par une fonction de répartition F(x), on peut considérer des petits voisinages V autour de (x₁,..., x_n) dans $\mathbb{R}^n$, par exemple une boule de rayon ε. On obtient ainsi une fonction de vraisemblance $L(\theta; V) = P[(X_{1,\theta}, ..., X_{n,\theta}) \in V]$ dont on cherche un maximum $\theta = \hat \theta(V)$. On fait ensuite tendre la taille de V vers 0 dans $\hat \theta(V)$ pour obtenir l'estimateur $\hat \theta$ de maximum de vraisemblance.

On retombe sur les fonctions de vraisemblance précédentes quand X est à loi discrète ou continue.

Propriétés

L'estimateur obtenu par la méthode du maximum de vraisemblance est :

• convergent, mais il peut être biaisé en échantillon fini.
• asymptotiquement efficient, il atteint la borne de Cramer Rao.
• asymptotiquement distribué selon une loi normale.

Exemples

Avec une loi discrète

On souhaite estimer le paramètre λ d'une loi de Poisson à partir d'un n-échantillon.

$f(x,\lambda) = P_\lambda(X=x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$

L'estimateur du maximum de vraisemblance est : $\hat {\lambda}_{ML}= \bar x$

Démonstration

La vraisemblance s'écrit :

$L(x_1,...,x_i,...,x_n;\lambda) = \prod_{i=1}^n e^{-\lambda} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}$

$L(x_1,...,x_i,...,x_n;\lambda) = e^{-\lambda n} \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}$

La vraisemblance étant positive, on considère son Logarithme naturel :

$\ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\lambda) = \ln e^{-\lambda n} + \ln \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}$

$\ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\lambda) = - \lambda n + \sum_{i=1}^n \ln \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}$

$\ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\lambda) = - \lambda n + \ln \lambda \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n \ln (x_i!)$

La dérivée première s'annule quand :

$\frac{\partial \ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\lambda)}{\partial \lambda} = 0$

$-n + \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\lambda} = 0$

$\hat \lambda = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$

La dérivée seconde s'écrit :

$\frac{\partial^2 \ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\lambda)}{\partial \lambda^2} = - \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\lambda^2} \le 0$

Ce ratio étant toujours négatif alors, l'estimation est donnée par :

$Y_n = \Lambda = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \bar X$

Il est tout à fait normal de retrouver dans cet exemple didactique la moyenne empirique, car c'est le meilleur estimateur possible pour le paramètre λ (qui représente aussi l'espérance d'une loi de Poisson).

Avec une loi continue

Loi exponentielle

On souhaite estimer le paramètre α d'une loi exponentielle à partir d'un n-échantillon.

$f(x,\alpha) = f_\alpha(x) = \begin{cases} \alpha e^{-\alpha x} & \text{si} \quad x \ge 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

L'estimateur du maximum de vraisemblance est : $\hat {\alpha}_{ML}= \frac{1}{\bar x}$

Démonstration

La vraisemblance s'écrit :

$L(x_1,...,x_i,...,x_n;\alpha) = \prod_{i=1}^n \alpha e^{-\alpha x_i} = \alpha^n \prod_{i=1}^n e^{-\alpha x_i} = \alpha^n e^{\sum_{i=1}^n -\alpha x_i}$

$L(x_1,...,x_i,...,x_n;\alpha) = \alpha^n e^{-\alpha \sum_{i=1}^n x_i}$

La vraisemblance étant positive, on considère son logarithme népérien:

$\ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\alpha) = \ln \alpha^n e^{-\alpha \sum_{i=1}^n x_i}$

$\ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\alpha) = n \ln \alpha - \alpha \sum_{i=1}^n x_i$

La dérivée première s'annule quand :

$\frac{\partial \ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\alpha)}{\partial \alpha} = 0$

$\frac{n}{\alpha} - \sum_{i=1}^n x_i = 0$

$\hat \alpha = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{1}{\frac {1}{n} \sum_{i=1}^n x_i}$

La dérivée seconde s'écrit :

$\frac{\partial^2 \ln L(x_1,...,x_i,...,x_n;\alpha)}{\partial \alpha^2} = - \frac{n}{\alpha^2} \le 0$

Ce ratio est toujours négatif donc l'estimation est donnée par:

$Z_n = \Alpha = \frac{1}{\frac {1}{n} \sum_{i=1}^n X_i} = \frac{1}{\bar X}$

Là encore, il est tout à fait normal de retrouver l'inverse de la moyenne empirique, car on sait que l'espérance d'une loi exponentielle correspond à l'inverse du paramètre α.

Loi normale

L'estimateur du maximum de vraisemblance de l'espérance μ et la variance σ² d'une loi normale est:

$\hat{\mu}_{ML} = \bar{x} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}x_i$

$\widehat{\sigma}^2_{ML} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$

Démonstration

Une loi normale

$\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ a la fonction de densité:

$f(x\mid \mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp{\left(-\frac {(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)}$

la fonction de vraisemblance pour un échantillon de n valeurs indépendantes :

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} f( x_{i}\mid \mu, \sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left( -\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),$

qui peut s'écrire plus simplement (voir Théorème de König-Huyghens):

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),$

où $\bar{x}$ représente la moyenne de l'échantillon.

Nous avons là deux paramètres: θ = μ,σ², donc il faut maximiser la fonction $\mathcal{L} (\mu,\sigma) = f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu, \sigma)$ selon les deux paramètres.

On va donc chercher la dérivée première et l'égaliser à zéro.

En l'occurrence, c'est la fonction de log-vraisemblance qui est maximisée ici.

$0 = \frac{\partial}{\partial \mu} \ln \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \right)$

$= \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \ln\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)$

$= 0 - \frac{-2n(\bar{x}-\mu)}{2\sigma^2}$

et on obtient donc l'estimateur par le maximum de vraisemblance de l'espérance:

$\hat\mu = \bar{x} = \sum^{n}_{i=1}x_i/n$

On peut montrer en plus que cet estimateur sans biais:

$\mathbb{E} \left[ \widehat\mu \right] = \mu$

Pour le second paramètre, σ, on cherche par analogie le maximum en fonction de σ.

$0 = \frac{\partial}{\partial \sigma} \ln \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \right)$

$= \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{n}{2}\ln\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right) - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)$

$= -\frac{n}{\sigma} + \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{\sigma^3}$

donc

$\widehat\sigma^2 = \sum_{i=1}^n(x_i-\widehat{\mu})^2/n$

et on obtient finalement l'estimateur par le maximum de vraisemblance de la variance:

$\widehat\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^2$

L'estimateur de la variance est par contre biaisé :

$\mathbb{E} \left[ \widehat{\sigma^2} \right]= \frac{n-1}{n}\sigma^2$

L'estimateur de la variance est un bon exemple pour montrer que le maximum de vraisemblance peut fournir des estimateurs biaisés : un estimateur sans biais est donné en effet par: $\widehat\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$. Néanmoins, asymptotiquement, quand n tend vers l'infini, ce biais, qui est de $\frac{n}{n-1},$ tend vers 1 et l'estimateur est alors asymptotiquement sans biais.

Si la dérivée ne peut pas être utilisée

Représentation graphique de la vraisemblance d'un n-échantillon d'une loi uniforme.

On souhaite estimer le paramètre a d'une loi uniforme à partir d'un n-échantillon.

$f(x,a) = f_a(x) = \begin{cases} \frac {1}{a} & \text{si} \quad x \in [0;a] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

La vraisemblance s'écrit :

$L(x_1,...,x_i,...,x_n;a) = \prod_{i=1}^n f_a(x_i) = \begin{cases} 0 & \text{si} \quad a < \max(x_1,\ldots,x_n) \\ \frac {1}{a^n} & \text{si} \quad a \geq \max(x_1,\ldots,x_n) \end{cases}$

Cette fonction n'est pas dérivable en $\max(x_1,\ldots,x_n)$. Sa dérivée s'annule sur tout l'intervalle $[0,\max(x_1,\ldots,x_n)[$. Il est clair que pour trouver le maximum de cette fonction il ne faut pas regarder où la dérivée s'annule.

La valeur de L sera maximale pour $\hat a = \max(x_1,...,x_n)$, car $\tfrac {1}{a^n}$ est décroissante pour a > 0.

Cet exemple permet de montrer également que le logarithme de la vraisemblance n'est pas toujours bien définie (sauf si on accepte que $\ln (0) = -\infty$ ).

Voir aussi

• Le maximum a posteriori est une généralisation quand la distribution a priori n'est pas uniforme.
• Information de Fisher
• Fonction de vraisemblance