Matrice de De Casteljau


Matrice de De Casteljau

Les matrices de de Casteljau sont des matrices de Markov triangulaires (ou leurs transposées suivant les conventions) principalement utilisées dans l'algorithme de De Casteljau.

Pour une taille N fixée, il y deux matrices D0 et D1 définies par

[D_0]_{i,j} = 
\left\{
\begin{matrix}
B_i^j(1/2) & \textrm{si} & j<i \\
0 & \textrm{sinon} &
\end{matrix}
\right.
[D_1]_{i,j} = 
\left\{
\begin{matrix}
B_i^{N-j}(1/2) & \textrm{si} & j<i \\
0 & \textrm{sinon} &
\end{matrix}
\right.

où les B_i^j sont les polynômes de Bernstein


Exemple (pour N=4)

D_0 = \begin{pmatrix}
1   & 0   & 0   & 0   \\
1/2 & 1/2 & 0   & 0   \\
1/4 & 1/2 & 1/4 & 0   \\
1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8 \\
\end{pmatrix} et D_1 = \begin{pmatrix}
1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8 \\
0   & 1/4 & 1/2 & 1/4 \\
0   & 0   & 1/2 & 1/2 \\
0   & 0   & 0    & 1   \\
\end{pmatrix}


Remarque : Il n'est pas nécessaire d'évaluer les polynômes de Bernstein en 1/2 car les matrices resteraient markoviennes (Cf. Propriété des polynômes de Bernstein). N'importe quelle valeur de [0,1] pourrait convenir, mais ce choix augmente la rapidité de l'algorithme en moyenne.

Voir aussi


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