Matrice Symétrique

Matrice symétrique

Définitions

• En algèbre linéaire, une matrice symétrique est une matrice qui est égale à sa propre transposée. Ainsi A est symétrique si :

${}^tA = A\,$

ce qui exige que A soit une matrice carrée.

Intuitivement, les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).

Exemple :

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ 4 & 0 & 10\\ 6 & 10 & 12\end{pmatrix}$

• L'ensemble des matrices symétriques à coefficients dans un anneau K est noté S_n(K).
• Toute matrice diagonale est symétrique, puisque tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.
• Un théorème fondamental concernant de telles matrices est le théorème spectral en dimension finie, qui énonce que les matrices symétriques dont les coefficients sont des nombres réels sont diagonalisables à l'aide de matrices orthogonales.
• Remarque : il existe des matrices symétriques non diagonalisables à coefficients complexes. Exemple :

$\begin{pmatrix} 1 & i\\ i & -1\end{pmatrix}$

En effet, cette matrice admet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle.

Interprétations

• En algèbre bilinéaire, une matrice représentant une forme bilinéaire est symétrique ssi cette dernière est symétrique.
• Dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est auto-adjoint.

Matrices symétriques positives

Définitions

• Une matrice symétrique réelle est positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire positive.
  • L'ensemble des matrices symétriques positives d'ordre n est noté $S_n^+(\R)$
  • Autrement dit :

$\forall S\in S_n(\R),\ S\in S_n^+(\R) \iff \forall X\in\mathcal M_{n,1}(\R),\ ^tXSX\ge 0$

• Une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire définie positive.
  • L'ensemble des matrices symétriques définies positives d'ordre n est noté $S_n^{++}(\R)$
  • En clair,

$\forall S\in S_n(\R),\ S\in S_n^{++}(\R) \iff \forall X\in\mathcal M_{n,1}(\R)\setminus\{0\},\ ^tXSX > 0$

Propriétés

• Une matrice symétrique est positive si et seulement si ses valeurs propres (qui sont automatiquement réelles) sont positives.
• Une matrice symétrique est définie positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
• Pour toute matrice réelle A, la matrice ^tAA est une matrice symétrique positive. De plus si A est une matrice carrée inversible, ^tAA est définie positive.
• Toute matrice symétrique positive admet une unique racine carrée symétrique positive, en clair :

$\forall S\in S_n^+(\R),\ \exist ! T\in S_n^+(\R),\ T^2=S$.

Ce résultat se généralise aux racines n-ièmes.

Utilisations concrètes

• Une matrice symétrique d'ordre 3 représente une conique en coordonnées homogènes dans un plan projectif construit à partir de $\mathbb C^3\, \backslash\, \{(0,0,0)\}$.

Voir aussi

• matrice
• matrice antisymétrique

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