Loxodromique

Loxodromie

Comparaison entre les trajectoires loxodromique (rouge) et orthodromique (blanc) sur une carte à projection de Mercator

Une loxodromie (du grec lox(o)- et -dromie course oblique), (en anglais rhumb line), est une courbe qui coupe les méridiens sous un angle constant.

Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite mais ne représente pas la distance la plus courte entre deux points. En effet la route la plus courte est appelée route orthodromique ou orthodromie.

La loxodromie est une trajectoire à route constante.

Navigation loxodromique

Le problème posé est celui de la détermination de la route et de la distance loxodromique entre deux points. Il s'agit donc du problème inverse de la navigation à l'estime.

• si les deux points A et B sont peu éloignés, on peut se contenter de formules approchées (latitude moyenne):

$M\,$ étant la distance parcourue à la route $R_v\,$ ; $\varphi_A , G_A\,$ et $\varphi_B , G_B\,$les coordonnées géographiques (latitude, longitude) des points A et B, et $\varphi_m = \frac{\varphi_A + \varphi_B}{2}\,$ :

$\tan R_v = \frac{G_B - G_A}{\varphi_B - \varphi_A} \cos \varphi_m\,$

et : $M = \frac{\varphi_B - \varphi_A}{\cos R_v}\,$

ces formules approchées restent précises à 1 nautique (1' d'arc) près pour $M < 375\,$ nautiques.

• formules exactes (latitudes croissantes de la projection de Mercator) :

$\tan R_v = - \frac{G_B - G_A}{\lambda_B - \lambda_A}\,$

et : $M = \frac{\varphi_B - \varphi_A}{\cos R_v}\,$

$\lambda \,$, en ' d'arc, est appelé la latitude croissante (autrefois donné dans les tables de Friocourt) ;

$\lambda = 3437,746770. \ln \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2})\,$

Dans ces formules, $\lambda\,$ est sans unité mais peut être considéré comme homogène à un angle. En radians, la formule précédente devient :

$\lambda = \ln \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2})\,$ qui est la fonction de Gudermann inverse.

Démonstration mathématique

Sur le globe terrestre, les loxodromies correspondent (lorsqu'elles ne sont pas « dégénérées », c'est-à-dire lorsque l'angle initial donné n'est pas nul) à des spirales s'enroulant autour du pôle (le pôle Nord si l'angle initial et dans ]0,π[ et que le déplacement se fait dans le sens des latitudes croissantes).

Soit à déterminer une équation de la loxodromie et à calculer la longueur parcourue à cap constant $\alpha\in\,]0, \pi[$.

Considérons les coordonnées sphériques habituelles sur la sphère unité : la longitude $\varphi$ et la colatitude θ. La loxodromie constitue un arc sur la sphère que l'on suppose de classe C¹ : $\varphi\mapsto\theta(\varphi)$ ; soit la fonction $f : \varphi\mapsto M(\varphi,\theta(\varphi))$ qui à la longitude $\varphi$ associe le point courant de la loxodromie de longitude $\varphi$ et de colatitude $\theta(\varphi)$. Il faut donc bien-sûr se donner au départ une origine des longitudes, puisqu'à un $\varphi$ donné à 2π près, correspond une infinité de points distincts sur l'arc, de colatitudes différentes. Partons de l'équateur et suivons la loxodromie vers le pôle Nord en nous refusant les classes modulo 2π pour $\varphi$ : par exemple $\theta(\varphi=0)={\pi \over 2}, 0<\theta(\varphi=2\pi)<{\pi \over 2}$.

Un vecteur tangent à la loxodromie est ainsi $f'(\varphi) = {\partial \vec M \over \partial \varphi}(\varphi,\theta(\varphi)) + \theta'(\varphi)\cdot{\partial \vec M \over \partial \theta}(\varphi,\theta(\varphi))$. Ce vecteur, qui dirige la tangente à l'arc, forme donc, par hypothèse, un angle α avec tout vecteur (non nul) dirigeant le parallèle au point considéré. Un vecteur dirigeant le parallèle en $M(\varphi,\theta(\varphi))$ est ${\partial \vec M \over \partial \varphi}(\varphi,\theta(\varphi))$ (tandis qu'un vecteur dirigeant le méridien est bien-sûr ${\partial \vec M \over \partial \theta}(\varphi,\theta(\varphi))$).

Dans la suite, pour alléger l'écriture, on ne précisera plus le point $(\varphi,\theta(\varphi))$ auquel sont prises les fonctions et leurs dérivées partielles.

En effectuant le produit scalaire d'un vecteur directeur de la tangente à la loxodromie et d'un vecteur directeur du parallèle, on obtient le produit des normes de ces vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment :

$\left({\partial \vec M \over \partial \varphi}\;|\;{\partial \vec M \over \partial \varphi} + \theta'(\varphi)\cdot{\partial \vec M \over \partial \theta}\right)=\|{\partial \vec M \over \partial \varphi}\|\,\|{\partial \vec M \over \partial \varphi} + \theta'(\varphi)\cdot{\partial \vec M \over \partial \theta}\|\cdot \cos \alpha$, en notant $(\vec u\;|\;\vec v)$ le produit scalaire $\vec u$ par $\vec v$.

En élevant au carré :

$\left({\partial \vec M \over \partial \varphi}\;|\;{\partial \vec M \over \partial \varphi} + \theta'(\varphi)\cdot{\partial \vec M \over \partial \theta}\right)^2=\|{\partial \vec M \over \partial \varphi}\|^2\,\|{\partial \vec M \over \partial \varphi} + \theta'(\varphi)\cdot{\partial \vec M \over \partial \theta}\|^2\cdot \cos^2 \alpha$.

On a d'autre part clairement  : ${\partial \vec M \over \partial \varphi}\bot{\partial \vec M \over \partial \theta}$ (les parallèles et les méridiens sont orthogonaux). Donc, par application du théorème de Pythagore, l'expression se réduit à :

$\left({\partial \vec M \over \partial \varphi}\;|\;{\partial \vec M \over \partial \varphi}\right)^2=\|{\partial \vec M \over \partial \varphi}\|^2\,\left(\|{\partial \vec M \over \partial \varphi}\|^2 + \theta'^2(\varphi)\|\cdot{\partial \vec M \over \partial \theta}\|^2\right)\cdot \cos^2 \alpha$.

Et en simplifiant :

$\|{\partial \vec M \over \partial \varphi}\|^2=\left(\|{\partial \vec M \over \partial \varphi}\|^2 + \theta'(\varphi)^2\cdot\|{\partial \vec M \over \partial \theta}\|^2\right)\cdot \cos^2 \alpha$.

D'où, avec « 1 − sin² = cos² »

$\sin^2 \alpha \cdot\|{\partial \vec M \over \partial \varphi}\|^2= \theta'(\varphi)^2\cdot\|{\partial \vec M \over \partial \theta}\|^2\cdot \cos^2 \alpha\qquad \mathbf{(1)}$.

Calculons les deux normes intervenant dans cette équation :

on sait, d'après le paramétrage sphérique rapporté aux coordonnées cartésiennes dans la base $(\vec i, \vec j,\vec k)$, que $\overrightarrow{OM}(\varphi,\theta)=\cos \theta\;\vec k + \sin \theta\;\vec u_\varphi$, où $\vec u_\varphi$ est le vecteur unitaire radial du plan équatorial défini par : $\vec u_\varphi = \cos \varphi\; \vec i + \sin\varphi\; \vec j$. On définit $\vec v_\varphi$ comme le vecteur dérivé par rapport à $\varphi$ de $\vec u_\varphi$ : $\vec v_\varphi = {d\vec u_\varphi\over d\varphi}=-\sin \varphi\; \vec i + \cos\varphi\; \vec j$. Alors ${\partial \vec M \over \varphi} = \sin \theta\;\vec v_\varphi$ et ${\partial \vec M \over \theta} = -\sin \theta\;\vec k + \cos \theta \vec u_\varphi$. Ainsi, $\|{\partial \vec M \over \partial \varphi}\|=\sin \theta$ et $\|{\partial \vec M \over \partial \theta}\|=1$.

L'équation $\mathbf{(1)}$ se réduit à :

$\sin^2 \alpha \sin^2\theta(\varphi)=\theta'^2(\varphi)\cos^2\alpha$

et puisque l'on a supposé un trajet vers le pôle Nord, θ est une fonction décroissante de $\varphi$ et θ' < 0, on suppose là de plus $\alpha\in\,]0, \pi/2[$(dans les autres cas, on déduit l'arc par une symétrie centrale et/ou une rotation convenable(s), donc on ne perd pas de généralité), par suite :

$\sin \alpha \sin\theta(\varphi)=-\theta'(\varphi)\cos\alpha$

et $\tan \alpha \sin\theta(\varphi)=-{d\theta\over d\varphi}$, équation différentielle non linéaire à variables séparables en $\theta(\varphi)$

En séparant les variables et en intégrant entre 0 et $\varphi$ :

$\int_{\pi/2}^{\theta(\varphi)}{d\theta\over \sin\theta}=-\tan\alpha\int_0^\varphi d\varphi$

$\ln\left(\tan{\theta(\varphi)\over 2}\right)=-\tan \alpha \varphi$ (cf. Table de primitives)

$\theta(\varphi)=2\,\operatorname{Arctan}\left(\mathrm{e}^{-\varphi\,tan\alpha}\right)$

La longueur L parcourue vaut alors, par définition :

$L=\int_0^{+\infty}\|f'(\varphi)\|d\varphi$

où $f'(\varphi) = {\partial \vec M \over \partial \varphi}(\varphi,\theta(\varphi)) + \theta'(\varphi)\cdot{\partial \vec M \over \partial \theta}(\varphi,\theta(\varphi))$ et $\|f'(\varphi)\|^2 = \sin^2 \theta + \theta'^2 = \sin^2\theta + \tan^2\alpha\sin^2\theta={\sin^2\theta\over\cos^2\alpha}$ et pour les mêmes raisons de signe, $\|f'(\varphi)\|={\sin\theta\over\cos\alpha}$.

$L={1\over \cos\alpha}\int_0^{+\infty}\sin\theta(\varphi)d\varphi$

En changeant de variable, avec ${d\varphi\over d\theta}=-{1\over \tan\alpha\,\sin\theta}$, on a $L={1\over\cos\alpha\tan\alpha}\int_0^{\pi\over 2}\sin^2\theta\,d\theta$

$L={\pi\over 4\,\sin\alpha}$

Voir aussi

• orthodromie
• navigation à l'estime
• route (navigation)

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