Loi uniforme continue

Uniforme
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$a,b \in \ ]\!-\infty,\infty[\!$
Support	$a \le x \le b\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \mbox{pour }a \le x \le b \\ \\ 0 & \mathrm{pour}\ x<a\ \mathrm{ou}\ x>b \end{matrix} \!$
Fonction de répartition	$\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ \mbox{pour }a \le x < b \\ 1 & \mbox{pour }x \ge b \end{matrix} \!$
Espérance	$\frac{a+b}{2}\!$
Médiane (centre)	$\frac{a+b}{2}\!$
Mode	toute valeur dans $[a,b]\!$
Variance	$\frac{(b-a)^2}{12}\!$
Asymétrie	$0\!$
Kurtosis normalisé	$-\frac{6}{5}\!$
Entropie	$\ln(b-a)\!$
Fonction génératrice des moments	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}\!$
Fonction caractéristique	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}\!$
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En théorie des probabilités et en statistiques, les lois uniformes continues forment une famille de lois de probabilité à densité caractérisées par la propriété suivante : tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont même probabilité. Cela se traduit par le fait que la densité de probabilités de ces lois est constante sur leur support.

La loi uniforme continue est une généralisation de la fonction rectangle à cause de la forme de sa fonction densité de probabilité. Elle est paramétrée par les plus petites et plus grandes valeurs a et b que la variable aléatoire uniforme peut prendre. Cette loi continue est souvent notée U(a,b).

Caractérisation

Densité

La densité de probabilité de la loi uniforme continue est une fonction porte sur l'intervalle [a,b] :

$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{pour }a \leq x \leq b, \\ 0 & \mathrm{sinon}. \end{cases}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition est donnée par

$F(x)=\begin{cases} 0 & \text{pour }x < a \\ \dfrac{x-a}{b-a} & \text{pour }a \le x < b \\ 1 & \text{pour }x \ge b \end{cases}$

Fonctions génératrices

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments est

$M_x = \mathbb{E}[e^{tx}] = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \,\!$

qui permet de calculer tous les moments non centrés, m _k:

$m_1=\frac{a+b}{2}, \,\!$

$m_2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}, \,\!$

$m_k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k a^ib^{k-i}. \,\!$

Ainsi, pour une variable aléatoire suivant cette loi, l'espérance est alors m₁ = (a + b)/2 et la variance est m₂ − m₁² = (b − a)²/12.

Fonction génératrice des cumulants

Pour n ≥ 2, le n-ième cumulant de la loi uniforme sur l'intervalle [0, 1] est b_n/n, où b_n est le n-ième nombre de Bernoulli.

Propriétés

Statistiques d'ordre

Soit X₁, ..., X_n un échantillon i.i.d. issu de la loi U(0,1). Soit X_(k) la k-ième Statistique d'ordre de l'échantillon. Alors, la distribution de X_(k) est une Loi bêta de paramétres k et n − k + 1. L'espérance est

$\operatorname{E}[X_{(k)}] = {k \over n+1}.$

Ce fait est utile lorsqu'on construit une Droite de Henry.

Les variances sont

$\operatorname{Var}(X_{(k)}) = {k (n-k+1) \over (n+1)^2 (n+2)} .$

L'aspect uniforme

La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la position de cet intervalle, mais dépend seulement de sa longueur, à condition que cet intervalle soit inclus dans le support de la loi. Ainsi, si X ≈ U(0,b) et que [x, x+d] est un sous-intervalle de [0,b], avec d > 0 fixé, alors

$P\left(X\in\left [ x,x+d \right ]\right) = \int_{x}^{x+d} \frac{\mathrm{d}y}{b-a}\, = \frac{d}{b-a} \,\!$

qui est indépendant de x. Ce fait motive la dénomination de cette loi.

Loi uniforme standard

Le cas particulier a = 0 et b = 1 donne naissance à la loi uniforme standard, aussi notée U(0,1). Il faut noter le fait suivant: si u₁ est distribué selon une loi uniforme standard, alors c'est aussi le cas pour u₂ = 1-u₁.

Loi uniforme sur l'ensemble A

À toute partie A de $\scriptstyle\ \R^d,\$ borélienne, dont la mesure de Lebesgue λ(A) est finie et strictement positive, on associe une loi de probabilité, appelée loi uniforme sur A, de densité de probabilité ƒ définie, pour $\scriptstyle\ x\in\R^d,\$ par :

$f(x)\ =\ \frac{1}{\lambda(A)}\ \chi_A(x),$

où χ_A est la fonction indicatrice de l'ensemble A. La densité ƒ est donc nulle à l'extérieur de A mais égale à la constante 1/λ(A) sur A.

Le cas particulier traité principalement dans cette page est le cas où d=1 et où A est un intervalle [a,b] de $\scriptstyle\ \R.\$

Transport et invariance

Condition suffisante — La loi de la variable aléatoire Y=T(X), image, par une transformation T, d'une variable X uniforme sur une partie A de $\scriptstyle\ \R^{d},\$ est encore la loi uniforme sur T(A) si T est, à un ensemble négligeable près, injectif et différentiable, et si, presque partout sur A, la valeur absolue du Jacobien de T est constante.

Exemples de transformations respectant l'uniformité  :

• Si T est affine et bijectif, Y suit la loi uniforme sur T(A).
• En particulier, si T est une isométrie de $\scriptstyle\ \R^{d}\$ laissant A invariant, Y a même loi que X.
• Par exemple, une isométrie de $\scriptstyle\ \R^{d}\$ laisse invariante la loi uniforme sur la boule unité centrée en l'origine, à condition de laisser l'origine invariante.
• Autre exemple d'isométrie : si U est uniforme sur [0,1], 1-U l'est aussi.
• Si $\scriptstyle\ \{x\}\$ est la partie fractionnaire de x, $\scriptstyle\ T_{+,a}(x)=\{a+x\}\$ et $\scriptstyle\ T_{-,a}(x)=\{a-x\}\$ ne sont pas injectifs ou différentiables sur tout [0,1] mais satisfont les hypothèses énoncées plus haut, avec T([0,1[)=[0,1[. En conséquence, $\scriptstyle\ \{a+U\}\$ et $\scriptstyle\ \{a-U\}\$ ont même loi que U. En sortant un peu du cadre de cette page, et en notant M(x) le point du cercle trigonométrique ayant pour affixe $\scriptstyle\ e^{2i\pi x},\$ on peut alors voir M(U) comme un point tiré au hasard uniformément sur le cercle trigonométrique. Les points $\scriptstyle\ M(\{a+U\})\$ et $\scriptstyle\ M(\{a-U\})\$ sont alors obtenus par rotation d'angle 2πa (resp. par symétrie par rapport à la droite d'angle directeur πa) qui sont des isométries laissant le cercle unité invariant. Il n'est donc pas étonnant que ces points suivent encore la loi uniforme sur le cercle unité. Cela traduit une propriété très particulière de la loi uniforme : elle est la mesure de Haar de $\scriptstyle\ \R\backslash\Z.$

Conséquence — Si la suite $\scriptstyle\ V=(V_{1},V_{2},\dots,V_{n})\$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0,1] et si $\scriptstyle\ U_{k}=\{V_{1}+V_{2}+\dots+V_{k}\},\$ alors la suite $\scriptstyle\ U=(U_{1},U_{2},\dots,U_{n})\$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0,1].

Démonstration

La loi conditionnelle de $\scriptstyle\ U_{k},\$ sachant que $\scriptstyle\ (V_{1},V_{2},\dots,V_{k-1})=(a_{1},a_{2},\dots,a_{k-1}),\$ est la loi de $\scriptstyle\ \{a_{1}+a_{2}+\dots,+a_{k-1}+V_{k}\},\$ qui se trouve être la loi uniforme sur [0,1], comme on vient de le voir quelques lignes plus haut. Donc la loi conditionnelle de $\scriptstyle\ U_{k}\$ sachant que $\scriptstyle\ (V_{1},V_{2},\dots,V_{k-1})=(a_{1},a_{2},\dots,a_{k-1})\$ ne dépend absolument pas de $\scriptstyle\ (a_{1},a_{2},\dots,a_{k-1}). \$ Cela a deux conséquences:

• $\scriptstyle\ U_{k}\$ suit la loi uniforme sur [0,1] ;
• $\scriptstyle\ U_{k}\$ est indépendante de la tribu engendrée par $\scriptstyle\ (V_{1},V_{2},\dots,V_{k-1}),\$ et, a fortiori, de la tribu engendrée par $\scriptstyle\ (U_{1},U_{2},\dots,U_{k-1}),\$ puisque $\scriptstyle\ \sigma(V_{1},V_{2},\dots,V_{k-1})\ \supset\ \sigma(U_{1},U_{2},\dots,U_{k-1}).\$

Cela suffit pour conclure.

Il peut sembler surprenant que les variables $\scriptstyle\ \{V_{1}+V_{2}\}\$ et $\scriptstyle\ \{V_{1}+V_{2}+V_{3}\},\$ par exemple, soient indépendantes, alors qu'elles dépendent toutes deux de manière cruciale des variables $\scriptstyle\ V_{1}\$ et $\scriptstyle\ V_{2}.\$ C'est une conséquence particulière de la propriété d'invariance de la loi uniforme : par exemple, étant la mesure de Haar de $\scriptstyle\ \R\backslash\Z,$ elle est idempotente pour la convolution.

Distributions associées

Le théorème suivant^[1] stipule que toutes les distributions sont liées à la loi uniforme:

Théorème de la réciproque — Pour une variable aléatoire de fonction de répartition F, on note G sa réciproque généralisée, définie, pour $\ \scriptstyle \omega\in]0,1[,\$ par :

$G(\omega)=\inf\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ F(x)\ge\omega\right\}.$

Si $\ \scriptstyle U\$ désigne une variable aléatoire réelle uniforme sur [0,1], alors $\ \scriptstyle X=G(U)\$ a pour fonction de répartition $\ \scriptstyle F\$.

Bref, pour obtenir des tirages (indépendants) selon la loi caractérisée par F, il suffit d'inverser cette fonction et de l'appliquer à des tirages (indépendants) uniformes.

Voici quelques exemples de cette loi:

• Y = -ln(U)/λ est distribué selon la Loi exponentielle de paramètre λ;
• Y = 1 - U^1/n est distribué selon la Loi bêta de paramètres 1 et n. Ceci implique donc que la loi uniforme standard est un cas spécial de la loi bêta, de paramètres 1 et 1.

On trouvera un tableau plus complet ici. Par ailleurs, l'art d'engendrer des variables aléatoires de lois arbitraires, par exemple à l'aide de variables uniformes, est développé dans Non-Uniform Random Variate Generation, de Luc Devroye, édité chez Springer, disponible sur le web^[2].

Applications

En Statistiques, lorsqu'une valeur p (p-value) est utilisée dans une procédure de test statistique pour une hypothèse nulle simple, et que la distribution du test est continue, alors la valeur p est uniformément distribuée selon la loi uniforme sur [0;1] si l'hypothèse nulle est vérifiée.

Obtenir des réalisations de la loi uniforme

Article détaillé : Générateur de nombres pseudo-aléatoires.

La plupart des langages de programmation fournissent un générateur de pseudo-nombres aléatoires, dont la distribution est effectivement la loi uniforme standard.

Si u est U(0;1), alors v = a + (b − a)u suit la loi U(a;b).

Obtenir des réalisations d'une loi continue quelconque

Article détaillé : Méthode de la transformée inverse.

D'après le théorème cité plus haut, la loi uniforme permet en théorie d'obtenir des tirages de toute loi continue à densité. Il suffit pour cela d'inverser la Fonction de répartition de cette loi, et de l'appliquer à des tirages de la loi uniforme standard. Malheureusement, dans bien des cas pratiques, on ne dispose pas d'une expression analytique pour la fonction de répartition; on peut alors utiliser une inversion numérique (coûteuse en calculs) ou des méthodes concurrentes, comme la Méthode de rejet.

Le plus important exemple d'échec de la méthode de la transformée inverse est la Loi normale. Toutefois, la Méthode de Box-Muller fournit une méthode pratique pour transformer un échantillon uniforme en un échantillon normal, et ce de manière exacte^[3].

Permutations aléatoires uniformes et loi uniforme

Des mathématiciens comme Luc Devroye (en) ou Richard P. Stanley (en) ont popularisé l'utilisation de la loi uniforme sur [0,1] pour l'étude des permutations aléatoires (tailles des cycles, nombres eulériens, analyse d'algorithmes de tri comme le tri rapide, par exemple).

Construction d'une permutation aléatoire uniforme à l'aide d'un échantillon de loi uniforme

Soit $\scriptstyle\ V=(U_{1}, U_{2}, \dots, U_{n})\$ une suite de variables aléatoires i.i.d. uniformes sur [0,1], définies sur un espace probabilisé $\scriptstyle\ (\Omega,\mathcal A,\mathbb P)\$ (par exemple, définies sur $\scriptstyle\ \Omega=[0,1]^{n}\$ muni de sa tribu des boréliens et de sa mesure de Lebesgue, par $\scriptstyle\ U_{k}(\omega_{1}, \omega_{2}, \dots, \omega_{n})\ =\ \omega_{k},\$ ou, de manière équivalente, par $\scriptstyle\ U(\omega)=\omega.\$ Pour tout entier k compris entre 1 et n, posons

$\sigma(k,\omega)\ =\ \mathrm{Card}\left\{i\ \mathrm{tels~que}\ 1\le i\le n,\ \mathrm{et~tels~que}\ U_{i}(\omega)\le U_{k}(\omega)\right\}.\$

Ainsi, $\scriptstyle\ \sigma(k,\omega)\$ s'interprète comme le rang de $\scriptstyle\ U_{k}(\omega)\$ dans l'échantillon, une fois celui-ci rangé dans l'ordre croissant.

Proposition —  L'application $\scriptstyle\ k\to\sigma(k,\omega)\$ est une permutation aléatoire uniforme.

Démonstration

Pour une permutation τ fixée, notons

$A_{\tau} =\ \left\{x\in\R^n\,|\,x_{\tau(1)}<x_{\tau(2)}<\dots<x_{\tau(n)}\right\},$

et posons

$\tau.x =\ (x_{\tau(1)},x_{\tau(2)},\dots,x_{\tau(n)}).$

Alors

$\{x\in A_{\tau}\}\ \Leftrightarrow\ \{\tau.x\in A_{\mathrm{Id}}\}.$

Par ailleurs, de manière évidente, si $\scriptstyle\ U(\omega)\in A_{\tau},\$ alors

$\left\{\forall k\ \mathrm{tel~que}\ 1\le k\le n,\quad\sigma(\tau(k),\omega)\ =\ k\right\}\ \mathrm{ou~encore}\ \{\sigma(.,\omega)=\tau^{-1}\}.\$

Comme

$\bigcup_{\tau\in\mathfrak{S}_n}A_{\tau}\ =\ \left\{x\in\R^n\,|\,\mathrm{les}\ x_{i}\ \mathrm{sont~tous~diff\acute erents}\right\},$

il en découle que

$B=\Omega\backslash\left(\bigcup_{\tau\in \mathfrak{S}_n}A_{\tau}\right)\ =\ \bigcup_{1\le i<j\le n}\left\{x\in\R^n\,|\,x_{i}=x_j\right\}.$

Si $\scriptstyle\ U(\omega)\in B,\$ il existe donc un couple i<j tel que $\scriptstyle\ U_{i}(\omega)=U_{j}(\omega),\$ et, par suite, $\scriptstyle\ \sigma(i,\omega)=\sigma(j,\omega).\$ Ainsi σ(.,ω) n'est pas une permutation. Finalement, comme B et les ensembles de type $\scriptstyle\ A_{\rho}\$ forment une partition de $\scriptstyle\ \R^{n},\$ il en découle que pour toute permutation τ,

$\left\{U(\omega)\notin A_{\tau}\right\}\ \Rightarrow\ \{\sigma(.,\omega)\neq\tau^{-1}\},$

et par conséquent

$\mathbb P\left(U\in A_{\tau}\right)\ =\ \mathbb P\left(\sigma=\tau^{-1}\right).$

Comme les composantes du vecteur aléatoire $\scriptstyle\ U=(U_{1}, U_{2}, \dots, U_{n})\$ sont des variables aléatoires indépendantes à densité de densités respectives notées $\scriptstyle\ f_{i}, \quad 1\le i\le n,\$ on sait que le vecteur aléatoire U possède lui même une densité f, définie par

$f(x)=\prod_{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}).\$

De même , une densité de probabilité du vecteur aléatoire τ.U est g, définie par :

$g(x)=\prod_{i=1}^{n}f_{\tau(i)}(x_{i}).\$

Dans le cas, comme ici, où les composantes d'un vecteur aléatoire sont i.i.d., on peut choisir les densités de probabilités $\scriptstyle\ f_{i}\$ toutes égales. Ainsi, les densités f et g des vecteurs aléatoires U et τ.U sont égales : les vecteurs aléatoires U et τ.U ont donc même loi. Par conséquent, pour toute permutation τ,

$\mathbb P\left(U\in A_{\mathrm{Id}}\right)\ =\ \mathbb P\left(\tau.U\in A_{\mathrm{Id}}\right)\ =\ \mathbb P\left(U\in A_{\tau}\right)\ =\ \mathbb P\left(\sigma=\tau^{-1}\right).\$

Par ailleurs,

$\mathbb P\left(U\in B\right)\ =\ \mathbb P\left(\exists i<j\ \mathrm{tels~que}\ U_i=U_j\right)\ \le\ \sum_{1\le i<j\le n}\mathbb P\left(U_i=U_j\right)\ =\ 0.$

En effet l'hyperplan $\scriptstyle\ \{x_{i}=x_{j}\}\$ est de mesure de Lebesgue nulle, et la loi de probabilité de U est à densité donc absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, donc

$\left\{\lambda(\{x_{i}=x_{j}\})=0\right\}\ \Rightarrow\ \left\{0=\mathbb P_U(\{x_{i}=x_{j}\})(=\mathbb P\left(U_i=U_j\right))\right\}.$

Finalement

$\begin{align} n!\,\mathbb P\left(\sigma=\tau\right) & = n!\, \mathbb P\left(U\in A_{\tau^{-1}}\right)\ =\ n!\, \mathbb P\left(U\in A_{\mathrm{Id}}\right) \\ & = \sum_{\rho\in\mathfrak{S}_n}\mathbb P\left(U\in A_{\rho}\right) \\ & = \mathbb P\left(U\in B\right) +\sum_{\rho\in\mathfrak{S}_n}\mathbb P\left(U\in A_{\rho}\right) \\ & =1, \end{align}$

où la dernière égalité utilise le fait que B et les ensembles $\scriptstyle\ A_{\rho}\$ forment une partition de $\scriptstyle\ \R^{n}.\$

La proposition ci-dessus reste vérifiée si la distribution de probabilité commune aux variables $\scriptstyle\ U_{i}\$ possède une densité, quelle qu'elle soit, et non pas seulement pour la densité uniforme. On peut même se contenter de variables i.i.d. dont la loi est diffuse (sans atomes) modulo une modification mineure de la démonstration. Cependant la loi uniforme est particulièrement commode pour diverses applications.

Nombres de descentes d'une permutation aléatoire, et nombres eulériens

Soit $\scriptstyle\ X_{n}(\omega)\$ le nombres de descentes d'une permutation $\scriptstyle\ \sigma(\omega)\$ tirée au hasard uniformément dans $\scriptstyle\ \mathfrak{S}_n.\$ Bien sûr,

$\begin{align} \mathbb P\left(X_{n}=k\right) & = \frac{\mathrm{nombre~de~cas~favorables}}{\mathrm{nombre~de~cas~possibles}} \\ & = \frac{A(n,k)}{n!}, \end{align}$

où A(n,k) désigne le nombres de permutations de $\scriptstyle\ \mathfrak{S}_n\$ possédant exactement k descentes. A(n,k) est appelé nombre eulérien. Posons

$S_{n}=U_{1}+U_{2}+\dots+U_{n}.$

On a alors^[4]

Théorème (S. Tanny, 1973) — De manière équivalente,

$\mathbb P\left(X_{n}=k\right)\ =\ \mathbb P\left(\lfloor S_{n}\rfloor=k\right)\ =\ \mathbb P\left(k\le S_{n}<k\right),$

ou bien

$A(n,k)\ =\ n! \ \mathbb P\left(k\le S_{n}<k\right).$

Démonstration

On suppose la suite $\scriptstyle\ U=(U_{1},U_{2},\dots,U_{n})\$ construite à l'aide d'une suite $\scriptstyle\ V=(V_{1},V_{2},\dots,V_{n})\$ de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0,1], via la relation $\scriptstyle\ U_{k}=\{V_{1}+V_{2}+\dots+V_{k}\}.\$ On sait alors, grace à des considérations d'invariance (voir plus haut), que $\scriptstyle\ U=(U_{1},U_{2},\dots,U_{n})\$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0,1]. On construit alors une permutation aléatoire uniforme σ(.,ω) à l'aide de la suite U, comme indiqué à la section ci-dessus : il y a descente au rang i pour σ(.,ω) si σ(i,ω)>σ(i+1,ω), ou de manière équivalente, si $\scriptstyle\ U_{i}(\omega)>U_{i+1}(\omega).\$ Parallèlement, on dessine, sur le cercle trigonométrique, les points $\scriptstyle\ M_{k}(\omega)\$ ayant pour affixes $\scriptstyle\ e^{2i\pi U_{k}(\omega)}.\$. On entreprend alors un voyage sur le cercle unité, consistant à parcourir les points $\scriptstyle\ M_{1}(\omega),\$ puis $\scriptstyle\ M_{2}(\omega),\$ puis ... , puis $\scriptstyle\ M_{n}(\omega),\$ dans cet ordre, en tournant toujours dans le sens trigonométrique, et en partant du point A d'affixe 1 (de coordonnées cartésiennes (0,1)). La longueur totale du chemin ainsi parcouru est alors

$2\pi\ \left(V_{1}+V_{2}+\dots+V_{n}\right).$

Par ailleurs, il y a descente au rang i pour σ(.,ω) si et seulement si l'étape du voyage ci-dessus allant du point $\scriptstyle\ M_{i}(\omega)\$ au point $\scriptstyle\ M_{i+1}(\omega)\$ traverse A. Donc le nombre de descentes de σ(.,ω) est le nombre de traversées du point A, qui est aussi le nombre de tours complets du cercle unité effectués lors du voyage de A à $\scriptstyle\ M_{n}(\omega).\$ Au vu du calcul donnant la longueur totale du chemin ainsi parcouru, voir ci-dessus, le nombre de tours complets s'écrit aussi :

$\left\lfloor V_{1}(\omega)+V_{2}(\omega)+\dots+V_{n}(\omega)\right\rfloor.$

Ainsi le nombre de descentes de σ(.,ω) est égal à $\scriptstyle\ \left\lfloor V_{1}(\omega)+V_{2}(\omega)+\dots+V_{n}(\omega)\right\rfloor.\$ Le nombre de descentes de σ a donc même loi que $\scriptstyle\ \left\lfloor S_{n}\right\rfloor.\$

Il en découle immédiatement un théorème central limite pour $\scriptstyle\ X_{n},\$ via le théorème de Slutsky.

Références

1. ↑ voir l'article détaillé ici.
2. ↑ La version pdf (libre et autorisée) de (en) Luc Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation, New York, Springer-Verlag, 1986, 1^re éd. [lire en ligne]  est disponible, ainsi qu'un récit humoristique des démélés de Luc Devroye avec son éditeur.
3. ↑ Plus exactement, la méthode nécessite deux tirages indépendants U(0;1) pour fournir deux tirages normaux indépendants.
4. ↑ voir (en) S. Tanny, « A probabilistic interpretation of the Eulerian numbers », dans Duke Math. J., vol. 40, 1973, p. 717-722  ou bien (en) R.P. Stanley, « Eulerian partitions of a unit hypercube », dans Higher Combinatorics, Dordrecht, M. Aigner, ed., Reidel, 1977 .

Articles connexes

• Méthode de Box-Muller
• Droite de Henry
• Générateur de nombres pseudo-aléatoires
• Loi uniforme discrète
• Loi bêta