Loi du zéro-un de Kolmogorov

Loi du zéro un de Kolmogorov

En probabilités, la Loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues^[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C'est-à-dire que la probablité d'un tel événement vaut 1 ou 0.

Les événements queues se définissent en termes de suites infinies de variables aléatoires. Soit

$X_1,X_2,X_3,\dots\,$

une suite^[2] infinie de variables aléatoires indépendantes. Alors, un événement queue est un événement dont la réalisation est déterminée par la valeur des variables X_i, mais qui est indépendant de toute sous-suite finie de variables X_i.

• Par exemple, l'événement "la série $\sum_{k=1}^\infty X_k$ converge" est un événement queue.
• L'événement $\sum_{k=1}^\infty X_k > 1$ n'est pas un événement queue puisque, par exemple, il n'est pas indépendant de la valeur de X₁.
• Pour une infinité de lancers d'une pièce à pile ou face, le fait qu'une séquence de 100 "faces" consécutives soit réalisée une infinité de fois, est un événement queue.
• Le paradoxe du singe savant est un exemple d'application de la Loi zéro un.

De façon surprenante, il est parfois aisé de prouver grâce à cette loi qu'un événement a une probabilité dans {0,1}, mais très difficile de déterminer laquelle de ces deux valeurs est la bonne.

Démonstration

L'indépendance des X_k conduit à celle des tribus U_n = σ(X_k;k < n) et T_n = σ(X_k;k > = n)

Si nous notons T_q la tribu de queue, on a $\forall n T_q \subset T_n$

Ce qui nous assure, pour tout n, l'indépendance de T_q et U_n.

Posons alors U_q la tribu engendrée par les U_n pour tout n.

La suite de tribus $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante, donc sa limite $\cup U_n$ est un π-système qui engendre U_q. Comme $\cup U_n$ et T_q sont indépendants, U_q et T_q le sont.

Ainsi pour tout événements $A \in U_q B \in T_q$ on a $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Or comme $T_q \subset U_q$ , on prend A=B ce qui donne P(A) = P(A)²

On en conclut que P(A)=0 ou 1

Notes

1. ↑ "tail events" en anglais.
2. ↑ les variables X_i n'ont pas forcément la même distribution de probabilité.

Voir aussi

• Théorème de Borel-Cantelli
• Loi du zéro-un de Borel
• en:Hewitt-Savage zero-one law

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