Loi de Lenz-Faraday


Loi de Lenz-Faraday

En physique, la loi de Lenz-Faraday, ou loi de Faraday, permet de rendre compte des phénomènes macroscopiques d'induction électromagnétique. Fondée sur les travaux de Michael Faraday en 1831, et sur l'énoncé de Heinrich Lenz de 1834, elle est aujourd'hui déduite de l'équation locale de Maxwell-Faraday.

Il s'agit d'une loi de modération, ce qui signifie qu'elle décrit des effets qui s'opposent à leurs causes.

Sommaire

Énoncé

La forme intégrale, historique, de la loi de Lenz-Faraday était au départ empirique. Un circuit soumis à un flux magnétique Φ (issu d'un champ magnétique B) variable est le siège d'une force électromotrice ε (mesurée en convention générateur) telle que :

\varepsilon = - \frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm dt}

Le signe « - » présent dans cette loi provient de la définition historique de l'orientation du champ électrique (de la charge + vers la charge -) et du champ magnétique (à l'extérieur de l'aimant les lignes de champ vont du pôle nord de l'aimant vers le pôle sud).

Une conséquence de cette loi est donné par les courants de Foucault.

Forme locale

Dans sa forme locale, due à James Clerk Maxwell, on peut l'écrire :

\vec{\nabla} \wedge \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}

avec E le champ électrique, B le champ d'induction magnétique et \vec{\nabla} l'opérateur formel nabla, qui calcule ici le rotationnel du champ E. Cette relation est appelée équation de Maxwell-Faraday, ou équation locale de Faraday.

La forme locale, qui constitue l'une des quatre équations de Maxwell est posée comme postulat de l'électromagnétisme. Néanmoins, il est possible de vérifier que les deux formes, intégrale et locale, sont équivalentes. Posant comme point de départ la forme intégrale, on peut montrer la forme locale, et réciproquement.

Démonstration

Les variations de flux de B à travers la surface Σ créent un champ électrique induit dont la circulation le long du contour Γ est la tension induite e. n est la normale à la surface Σ.

Soit Σ une surface immobile quelconque de l'espace {\mathbb{R}}^3, de normale \vec n. Cette surface est traversée par un champ magnétique dont on suppose la cause extérieure. Le flux de \vec B à travers Σ est :

\Phi = \iint_\Sigma \vec  B \cdot \vec  n \, \mathrm d\Sigma

De plus, la force électromotrice e est égale à la circulation du champ électrique sur le contour Γ de Σ :

e = \oint_{\Gamma}\vec E \cdot \, \mathrm d \vec l

D'après le théorème de Stokes, on a :

e = \iint_{\Sigma} \left( \vec {\nabla} \wedge \vec E \right) \cdot \vec n \, \mathrm d\Sigma

Ainsi, la loi de Lenz-Faraday, qui s'écrit :

e = - \frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}

donne lieu à l'égalité suivante :

 e = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}{\iint_\Sigma\vec B \cdot\vec n \, \mathrm d\Sigma} = - {\iint_\Sigma\frac{\partial}{\partial t}\vec B\cdot\vec n \, \mathrm d\Sigma}

Nous avons maintenant deux expressions intégrales de e, celles-ci étant valables quelle que soit la surface Σ, les intégrandes sont égaux, et on a :

\vec {\nabla} \wedge \vec{E} = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}

qui n'est autre que l'équation de Maxwell-Faraday, et que l'on qualifie aussi d'équation locale de Faraday. La démarche exactement inverse montre que, posant cette dernière équation comme postulat, on retrouve la forme intégrale.

Bibliographie

  • John David Jackson, Électrodynamique classique [« trad. de (en)Classical Electrodynamics »] [détail de l’édition] 

Annexes

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