Loi de Fisher


Loi de Fisher
Fisher-Snedecor
Densité de probabilité / Fonction de masse
F distributionPDF.png
Fonction de répartition
F distributionCDF.png

Paramètres d_1>0,\ d_2>0 degré de liberté
Support x \in [0, +\infty[\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!
Fonction de répartition I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!
Espérance \frac{d_2}{d_2-2}\! pour d2 > 2
Mode \frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\! pour d1 > 2
Variance \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\! pour d2 > 4
Asymétrie \frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\! pour d2 > 6
Kurtosis normalisé 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)} pour d2 > 8

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue[1],[2],[3]. Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George W. Snedecor. La loi de Fisher survient très fréquemment en tant que distribution de l'hypothèse nulle dans des tests statistiques, comme par exemple les tests du ratio de vraisemblance ou encore dans l'analyse de la variance (ANOVA) via le test du F.

Sommaire

Caractérisation

Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être construite comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, U1 et U2, distribuées chacune selon une loi du χ² et ajustées pour leurs nombre de degrés de liberté, respectivement d1 et d2 :

\mathrm{F}(d_1, d_2) \sim \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}

La densité de probabilité d'une loi de Fisher, F(d1, d2), est donnée par

f(x) = \frac{\left(\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_1/2} \; \left(1-\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_2/2}}{x\; \mathrm{B}(d_1/2, d_2/2)}

pour tout réel x ≥ 0, où d1 et d2 sont des entiers positifs et B est la fonction bêta.

La fonction de répartition associée est F(x)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)

I est la fonction bêta incomplète régularisée.

L'espérance, la variance valent respectivement

\frac{d_2}{d_2-2}\!

pour d2 > 2 et

\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!

pour d2 > 4. Pour d2 > 8, le kurtosis normalisé est \gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.

Généralisation

Une généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non centrée.


Distributions associées et propriétés

  • Si \ X \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2) alors Y = \lim_{\nu_2 \to \infty} \nu_1 X est distribuée selon une loi du χ² \chi^2_{\nu_{1}};
  • La loi F(ν12) est équivalente à la loi T-square de Hotelling's (\nu_1(\nu_1+\nu_2-1)/\nu_2)\operatorname{T}^2(\nu_1,\nu_1+\nu_2-1);
  • Si X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2), alors  \frac{1}{X} \sim F(\nu_2,\nu_1);
  • Si X \sim \mathrm{t}(\nu)\! est distribuée selon une loi de Student alors X^2 \sim \operatorname{F}(1, \nu);
  • Si X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2) et Y=\frac{\nu_1 X/\nu_2}{1+\nu_1 X/\nu_2} alors Y \sim \operatorname{Beta}(\nu_1/2,\nu_2/2) est distribuée selon une loi bêta;
  • Si \operatorname{Q}_X(p) est le quantile d'ordre p pour X\sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2) et que \operatorname{Q}_Y(p) est le quantile d'ordre p pour Y\sim \operatorname{F}(\nu_2,\nu_1) alors \operatorname{Q}_X(p)=1/\operatorname{Q}_Y(p).

Notes et références

  1. (en) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover Publications, 1972 (ISBN 978-0-486-61272-0) 
  2. NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - F Distribution
  3. (en) Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 246-249), McGraw-Hill, 1974 (ISBN 978-0-07-042864-5) 

Liens externes


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