Loi de Darcy

La loi expérimentale de Darcy ou loi de Darcy a été établie par Henry Darcy. Elle est notamment utile pour calculer les écoulements souterrains de l'eau ou d'un liquide, verticalement à travers le sol vers la nappe par exemple, ou au travers d'un milieu poreux (comme, par exemple, dans un barrage en terre).

Schéma de l'équipement utilisé par Darcy pour les essais à charge constante dans le calcul de la perméabilité

Cylindre incliné plein de sable, traversé par de l'eau, utilisée pour l'une des démonstrations de la loi dite "Loi de Darcy"

Elle est utilisée dans le domaine de l'hydraulique et des sciences du sol, pour calculer les coefficients de percolation, ou de circulation horizontale ou verticale de l'eau, selon la masse d'eau présente en surface ou dans un milieu hydrophile.

Formulation

Cette loi régissant l'écoulement stationnaire d'un fluide incompressible caractérisé par une viscosité dynamique "μ" et une masse volumique "ρ" au travers d'un milieu poreux caractérisé par un coefficient de perméabilité "K", permet notamment de mesurer, modéliser le débit d'eau pouvant (par gravité et/ou par capillarité) s'écouler à travers un sol ou un échantillon de matériau poreux, de section A et de longueur L.

La loi de Darcy telle qu'elle a été formulée par Henry Darcy en 1856 dans l'appendice D de son célèbre ouvrage Les fontaines publiques de la ville de Dijon s'exprime par :

$Q = K A \frac{\Delta H}{L}$

avec :

• Q : le débit volumique (m³/s).
• K : la conductivité hydraulique ou coefficient de perméabilité du milieu poreux (m/s).
• A : la surface de la section étudiée (m²)
• $\frac{\Delta H}{L}$ : Le gradient hydraulique (i = ΔH/L), ou ΔH est la différence des hauteurs piézométriques en amont et en aval de l'échantillon, L est la longueur de l'échantillon.

Initialement globale (valable pour un massif poreux homogène et un écoulement vertical uniforme), la formulation de la loi de Darcy devint rapidement locale, applicable à des corps poreux hétérogènes, à des fluides autres que l’eau, éventuellement compressibles, et à des écoulements non uniformes. Aujourd’hui, elle a la forme suivante :

$\vec{u} = -\frac{k}{\mu}(\vec{\nabla} p - \rho \vec{g})$

où

• $\vec{u}$ est la vitesse de filtration (vecteur flux volumique de fluide) (m³/s),
• p la pression (kg/m/s²),
• ρ la masse volumique du fluide (kg/m³),
• μ sa viscosité (kg/m/s),
• $\vec{g}$le vecteur accélération de la pesanteur (m/s²)
• et k un coefficient, homogène à une longueur au carré (m²), pouvant avoir un caractère tensoriel, dépendant uniquement du milieu poreux, appelé perméabilité.

Sous cette forme généralisée, la loi de Darcy est très bien vérifiée par l’expérience, du moins dans un certain domaine : les déformations du milieu poreux doivent être négligeables, et l’écoulement du fluide, à l’échelle des pores, doit être bien décrit par les équations de Stokes (ce qui suppose l’écoulement suffisamment lent, i.e, pour des nombres de Reynolds faibles, sous des conditions stationnaires.). Cette loi, valable à l'échelle macroscopique (c'est-à-dire lorsque l'on ne cherche pas à représenter la géométrie de la matrice poreuse) peut être retrouvée en effectuant la prise de moyenne volumique du problème de Stokes qui régit l'écoulement à l'échelle du pore (c'est-à-dire lorsque l'on représente le fluide et la structure solide). En plus de démontrer la loi de Darcy, cette méthode permet également d'évaluer la perméabilité du milieu poreux via la résolution de problèmes de fermeture.

Généralisation

La loi de Darcy a été établie à l'origine pour un milieu poreux saturé, c'est-à-dire où tous les pores du milieu sont remplis d'eau. Cette loi peut être généralisée à des milieux non saturés et en 3 dimensions, sous la forme:

$\vec{q} = K(h) .\vec{\nabla}{H}$

où

• H représente la charge totale ou potentiel total de l'eau par unité de poids (m=J/N). La charge totale est égale à la somme des charges matricielles et gravitationnelles H = h + z;
• h représente le potentiel matriciel par unité de poids (m=J/N);
• K(h) est un tenseur donnant la conductivité hydraulique du milieu poreux en fonction de la charge matricelle;
• $\vec{q}$ représente la densité de flux (m³/m²/s=m/s).

Conductivité hydraulique

La conductivité hydraulique K est un coefficient dépendant des propriétés du milieu poreux où l’écoulement a lieu (granulométrie, forme des grains, répartition et forme des pores, porosité intergranulaire), des propriétés du fluide concerné par les écoulements (la viscosité, le poids spécifique) et de la saturation du milieu poreux. Elle s'exprime en fonction des propriétés intrinsèques du milieu poreux et du fluide :

$K = \frac{k . \rho . g}{\mu}$

avec :

• k : la perméabilité intrinsèque du milieu poreux (m²),
• ρ : la masse volumique du fluide (kg/m³),
• g : l'accélération de la pesanteur (m/s²),
• μ : la viscosité dynamique du fluide.

La conductivité hydraulique (et la perméabilité intrinsèque) est une fonction strictement décroissante du taux de saturation du milieu poreux ou du potentiel matriciel. Lorsque le milieu est saturé en eau (h > = 0), cette propriété est appelée conductivité hydraulique à saturation K_sat .

Bibliographie

• Henry Darcy, Les fontaines publiques de la ville de Dijon, V. Dalmont, Paris, (1856)
• GUYON, E., HULIN, J.P., PETIT, L., MITESCU, C.D. Physical hydrodynamics, Oxford University Press, Oxford, (2001)

Voir aussi

Articles connexes

• Hydrologie
• Porosité
• Théorie de la percolation
• Géologie
• Sédimentologie
• Test de Blaine
• Capillarité
• Perméabilité
• Nappe phréatique
• piezométrie

Liens externes

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• « Loi de Darcy », sur Wikimedia Commons (ressources multimédia)

Loi de Darcy, Vitesse en fût vide sur le site de l'université Henri-Poincaré de Nancy