Loi de Bragg


Loi de Bragg
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir condition.

En physique, la loi de Bragg est une loi empirique qui interprète le processus de la diffraction des radiations sur un cristal. Elle fut découverte par W.H. et W.L. Bragg vers 1915.

Lorsque l'on bombarde un cristal avec un rayonnement dont la longueur d'onde est du même ordre de grandeur que la distance inter-atomique, il se produit un phénomène de diffraction. Les conditions de diffraction donnent les directions dans lesquelles on observe de l'intensité diffractée par le cristal.

Les rayonnements peuvent être électromagnétiques — pour cet ordre de grandeur de longueur d'onde, ce sont des rayons X, d'énergie de quelques dizaines de keV — ou bien des particules ayant une énergie cinétique adaptée, de l'ordre de 100 keV pour des électrons, ou bien des dizaines de meV pour des neutrons.

Sommaire

Diffraction sur un cristal

Considérons un monocristal bombardé de rayons X. Les rayons X frappent chaque atome avec une phase différente (ils parcourent un chemin optique plus ou moins long).

Les rayons X, comme toutes les ondes électromagnétiques, provoquent un déplacement du nuage électronique par rapport au noyau dans les atomes ; ces oscillations induites provoquent une réémission d'ondes électromagnétiques de même fréquence : ce phénomène est appelé diffusion Rayleigh.

Article détaillé : Interaction rayonnement-matière.

Les ondes n'ont pas toutes la même phase lorsqu'elles frappent les atomes. En un point de l'espace, les ondes électromagnétiques proviennent de tous ces atomes et subissent encore un déphasage dû à la différence de chemin optique. Du fait de l'organisation régulière du cristal, dans certains endroits de l'espace, les ondes s'annulent (interférences destructives), et dans d'autres, les ondes s'additionnent et l'on a une intensité positive. Ces lieux d'intensité positive sont alignés par rapport au « point d'impact » du faisceau incident, on parle donc de « directions de diffraction ».

Diffusion rayleigh et diffraction.png

On peut retrouver ces directions de diffraction grâce à différentes lois équivalentes.

Description

Énoncé

Selon la déviation 2θ, on a des interférences constructives (figure de gauche) ou destructives (figure de droite)

Pour cette loi, on considère des plans imaginaires contenant des atomes et perpendiculaires au vecteur de diffraction (c'est-à-dire à la bissectrice entre le faisceau incident et la direction à laquelle on s'intéresse). Mais il existe aussi d'autres lois décrivant la diffraction.

Si λ est la longueur d'onde de la radiation et d est la distance interréticulaire du plan cristallin diffractant, alors les directions 2θ de l'espace dans lesquelles on aura des pics d'intensité (le 0 pour 2θ étant la direction du faisceau incident) vérifient :

2 d \sin \theta = n \cdot \lambda

avec :

  • d = distance interréticulaire, c'est-à-dire distance entre deux plans cristallographiques ;
  • θ, angle de Bragg = demi-angle de déviation (moitié de l'angle entre le faisceau incident et la direction du détecteur) ;
  • n = ordre de diffraction (nombre entier) ;
  • λ = longueur d'onde des rayons X.

Lorsque le rayonnement n'est pas électromagnétique mais particulaire, la diffusion Rayleigh n'est pas due au déplacement du nuage atomique mais résulte du principe d'incertitude d'Heisenberg : comme la particule est bien localisée (elle interagit avec l'atome), l'incertitude sur son impulsion, donc notamment sa direction, est grande, il y a donc une diffusion isotrope. Pour bien comprendre ceci, il faut également bien comprendre la notion de dualité onde-particule.

Justification géométrique

démonstration de la loi de Bragg

On peut retrouver la loi de Bragg de manière simple. Considérons deux rayons parallèles frappant deux atomes situés sur une même droite perpendiculaire à la surface. Le chemin supplémentaire parcouru par le rayon « profond » est 2d·sin(θ), puisque ce trajet supplémentaire suit les côtés opposés à un angle θ de triangles rectangles d'hypoténuse d. Les interférences sont constructives si la différence de chemin introduit un déphasage multiple de 2π, c'est-à-dire si le chemin supplémentaire est un multiple de λ.

Analogie

Interférence par une lame d'air : analogie avec la loi de Bragg

On image souvent cette loi en considérant que les plans cristallographiques sont des miroirs semi-transparents ; en effet, la formule est strictement identique aux interférences par une lame d'air que l'on obtient avec un interféromètre de Michelson. Cependant, il faut bien comprendre que les plans cristallographiques ne sont qu'une vue de l'esprit, et que dans les faits, les ondes sont diffusées individuellement par les atomes.

Condition de Laue

Le rayonnement incident a un vecteur d'onde \vec{k}.

Si l'on s'intéresse à l'intensité diffusée dans une direction de l'espace \vec{u}, cela revient à s'intéresser aux ondes dont le vecteur d'onde est

\vec{k'} = || \vec{k} || \cdot \vec{u}.

En effet, puisque la diffusion est élastique, la longueur d'onde reste la même, donc les vecteurs d'onde ont la même norme.

La maille élémentaire du cristal est définie par trois vecteurs \vec{e_1}, \vec{e_2} et \vec{e_3} qui forment par ailleurs une base de l'espace.

On appelle \vec{K} le vecteur de diffusion

\vec{K} = \vec{k'} - \vec{k}.

La condition de diffraction de Laue s'exprime ainsi :

il y a diffraction dans la direction \vec{u} si les produits scalaires de \vec{K} avec les vecteurs \vec{e_1}, \vec{e_2},\vec{e_3} sont entiers, c'est-à-dire
si \vec{K} \cdot \vec{e_1}, \vec{K} \cdot \vec{e_2} et \vec{K} \cdot \vec{e_3} sont des nombres entiers.

On note en général[1]

\vec{K} \cdot \vec{e_1} = h
\vec{K} \cdot \vec{e_2} = k
\vec{K} \cdot \vec{e_3} = l

Les indices (hkl) sont caractéristiques de la tache (ou du pic) de diffraction. Ce sont aussi les indices de Miller d'un plan cristallographique, ce qui permet de retrouver la loi de Bragg.

Théorème de Bloch

On peut définir une autre base, appelée base réciproque, par[2]

\vec{e^*_1} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3
\vec{e^*_2} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1
\vec{e^*_3} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2

Comme \vec{e}_1, \vec{e}_2 et \vec{e}_3 dépendent de la maille élémentaire, les vecteurs de la base réciproque dépendent eux aussi de la maille élémentaire ; ils sont une caractéristique du cristal.

La condition de diffraction peut alors s'énoncer de la manière suivante[3] :

il y a diffraction dans la direction \vec{u} si \vec{K} a des coordonnées entières dans la base réciproque

soit

\vec{K} = h \cdot \vec{e^*_1} + k \cdot \vec{e^*_2} + l \cdot \vec{e^*_3}

h, k et l étant des entiers.

Les indices (hkl) sont les mêmes que pour la condition de Laue, et mènent donc également à la loi de Bragg.

Les points ayant des coordonnées entières dans le repère (O, \vec{e^*_1}, \vec{e^*_2}, \vec{e^*_3}) forment un réseau appelé réseau réciproque. La condition de diffraction est donc :

il y a diffraction dans la direction \vec{u} si l'extrémité de \vec{K} est sur un nœud du réseau réciproque.

C'est le théorème de Bloch.

Applications

Lorsque la longueur d'onde de la radiation est de l'ordre de grandeur de la distance inter-atomique dans le cristal, les directions de diffraction sont suffisamment éloignées pour être distinguables, et suffisamment rapprochées pour figurer sur le même cliché. La loi de Bragg est utilisée entre autres pour :

Notes

  1. Il existe deux manières de définir le vecteur d'onde : soit sa norme est 1/λ, on a alors les formules indiquées, soit sa norme est 2π/λ et on a alors \vec{K} \cdot \vec{e_1} = 2 \pi \cdot h, \vec{K} \cdot \vec{e_2} = 2 \pi \cdot k et \vec{K} \cdot \vec{e_3} = 2 \pi \cdot l ce qui ne change rien au résultat.
  2. Si l'on choisit de prendre 2π/λ pour la norme du vecteur d'onde, alors \vec{e_m} \cdot \vec{e_m^*} = \frac{2 \pi}{V} \cdot (\vec{e_m}\cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}) = 2 \pi où (m, n, p) est une permutation circulaire de (1, 2, 3).
  3. Cette condition est la même quelle que soit la définition de la norme du vecteur d'onde.

Articles connexes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Loi de Bragg de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • loi de Bragg — ● loi de Bragg Loi selon laquelle des rayons X de longueur d onde λ ne donnent de réflexion par interférence, sur des plans cristallins d espacement d, que pour des angles d incidence θ définis par nλ = 2d sin θ. (→ radiocristallographie.) …   Encyclopédie Universelle

  • Bragg (homonymie) — Bragg Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Bragg peut faire référence à : Bragg, un cratère lunaire. un patronyme porté par : Billy Bragg, un chanteur. Braxton Bragg, un officier… …   Wikipédia en Français

  • Bragg — (sir William Henry) (1862 1942) physicien anglais. Il étudia la diffraction des rayons X par les cristaux (loi de Bragg), dont il précisa la structure. Son fils sir William Lawrence (1890 1971) poursuivit son oeuvre. Ils reçurent le prix Nobel en …   Encyclopédie Universelle

  • Loi empirique — Une loi empirique est une loi ou formule issue de faits expérimentaux ou validée par l expérience mais dont on ne connaît pas de base théorique, ou bien qu on ne peut pas relier à une base théorique simple. Ce type de loi, bien qu empirique, peut …   Wikipédia en Français

  • Bragg — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Bragg peut faire référence à : Bragg, un cratère lunaire. un patronyme porté par : Billy Bragg, un chanteur. Braxton Bragg, un officier… …   Wikipédia en Français

  • Loi scientifique — Liste des lois scientifiques Liste des lois scientifiques par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom de la loi comprend des noms de scientifiques, on se base sur le premier… …   Wikipédia en Français

  • Loi de Scherrer — Formule de Scherrer Pour les articles homonymes, voir Scherrer. La formule de Scherrer, ou relation de Laue Scherrer, est une formule utilisée en diffraction X sur des poudres ou échantillons polycristallins. Elle relie la largeur des pics de… …   Wikipédia en Français

  • BRAGG (W. H. et W. L) — BRAGG sir WILLIAM HENRY (1862 1942) & sir WILLIAM LAWRENCE (1890 1971) Physiciens anglais, le père et le fils travaillent ensemble sur la diffraction des rayons X pour les cristaux et établissent, en 1912, la loi reliant la direction de… …   Encyclopédie Universelle

  • Bragg-Brentano — Diffractomètre Le diffractomètre est un appareil permettant de mesurer la diffraction d une onde sur une cible. Le terme est utilisé exclusivement pour la diffractométrie de rayons X. Les premiers diffractomètres utilisaient une pellicule… …   Wikipédia en Français

  • Diffraction de Bragg — Loi de Bragg Pour les articles homonymes, voir condition. En physique, la loi de Bragg est une loi empirique qui interprète le processus de la diffraction des radiations sur un cristal. Elle fut découverte par W.H. et W.L. Bragg vers 1915.… …   Wikipédia en Français


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.