Loi De Rice


Loi De Rice

Loi de Rice

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice est une loi statistique continue (c'est-à-dire à densité). C'est la loi que suit la racine carrée d'une χ².

Rice
Densité de probabilité / Fonction de masse
Rice probability density functions σ = 1.0
Densité de probabilité de la loi de Rice pour différentes valeurs de ν   avec σ = 1.
Rice probability density functions σ = 0.25
Densité de probabilité de la loi de Rice pour différentes valeurs de ν   avec σ = 0,25.
Fonction de répartition
Fonction de répartition pour la loi de Rice avec σ = 1.0
Fonction de répartition pour la loi de Rice avec σ = 1,0 pour différentes valeurs de ν.
Rice cumulative distribution functions σ = 0.25
Fonction de répartition pour la loi de Rice avec σ = 0,25 pour différentes valeurs de ν.
Paramètres \nu\ge 0\,
\sigma\ge 0\,
Support x\in [0;\infty)
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)}
{2\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)
Fonction de répartition 1-Q_1\left(\frac{\nu}{\sigma },\frac{x}{\sigma }\right)

Q1 is the Marcum Q-Function

Espérance \sigma  \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
Médiane (centre)
Mode
Variance 2\sigma^2+\nu^2-\frac{\pi\sigma^2}{2}L_{1/2}^2\left(\frac{-\nu^2}{2\sigma^2}\right)
Asymétrie (statistique) (compliqué)
Kurtosis (non-normalisé) (compliqué)
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

Sommaire

Caractérisation

Sa densité de probabilité vaut

 f(u) = \kappa (q) \cdot u^{q-1} \cdot e^{-u^2/2}

avec

 \kappa (q) = \frac{1}{2^{q/2 - 1} \cdot \Gamma(q/2)}

Γ étant la fonction gamma d'Euler.

Lorsque q prend la valeur 2, on retrouve une Loi de Rayleigh.

Une autre formulation consiste à considérer:


f(x|\nu,\sigma) = \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)}
{2\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)

I0(z) est la Fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0. Cette fois-ci, c'est lorsque v = 0 que l'on obtient la Loi de Rayleigh.


Propriétés

Moments

Les premiers moments (non-centrés) sont:

\mu_1=  \sigma  \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
\mu_2= 2\sigma^2+\nu^2\,
\mu_3= 3\sigma^3\sqrt{\pi/2}\,\,L_{3/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
\mu_4= 8\sigma^4+8\sigma^2\nu^2+\nu^4\,
\mu_5=15\sigma^5\sqrt{\pi/2}\,\,L_{5/2}(-\nu^2/2\sigma^2)
\mu_6=48\sigma^6+72\sigma^4\nu^2+18\sigma^2\nu^4+\nu^6\,
L_\nu(x)=L_\nu^0(x)=M(-\nu,1,x)=\,_1F_1(-\nu;1;x)

où, Lν(x) représente un Polynôme de Laguerre.

Pour le cas ν = 1/2:

L_{1/2}(x)=\,_1F_1\left( -\frac{1}{2};1;x\right)
=e^{x/2} \left[\left(1-x\right)I_0\left(\frac{-x}{2}\right) -xI_1\left(\frac{-x}{2}\right) \right].

Généralement les moments sont donnés par

\mu_k=s^k2^{k/2}\,\Gamma(1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu^2/2\sigma^2), \,

s = σ1/2.

Lorsque k est pair, les moments deviennent des polynômes en σ et ν.

Distributions liées

  • La variable r = \sqrt{x^2 + y^2} est distribué selon une loi de Rice R \sim \mathrm{Rice}\left(\sigma,\nu\right) à condition que X \sim N\left(\nu\cos\theta,\sigma^2\right) et Y \sim N\left(\nu \sin\theta,\sigma^2\right) soient deux variables gaussiennes indépendantes.
  • Pour obtenir une variable R \sim \mathrm{Rice}\left(\nu,\sigma\right), on peut considérer une autre procédure:
1. Tirer P selon une loi de Poisson, de paramètre \lambda = \frac{\nu^2}{2\sigma^2}.
2. Tirer X selon une loi du Chi-deux avec 2P + 2 degrés de liberté.
3. Poser R = \sigma\sqrt{X}.
  • Si R \sim \mathrm{Rice}\left(1,\nu\right) alors R2 possède une distribution Chi-deux non-centré, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralité ν2.

Cas limites

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient (voir Abramowitz & Stegun §13.5.1)

\lim_{x\rightarrow -\infty}L_\nu(x)=\frac{|x|^\nu}{\Gamma(1+\nu)}.

On peut constater que lorsque ν devient grand ou que σ devient petit, alors la moyenne devient ν et la variance σ2.

Voir aussi

Références

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (ed.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965. ISBN 0-486-61272-4
  • Stephen O. Rice, Mathematical Analysis of Random Noise. Bell System Technical Journal 24 (1945) 46–156.
  • I. Soltani Bozchalooi and Ming Liang, A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection, Journal of Sound and Vibration, Volume 308, Issues 1-2, 20 November 2007, Pages 246–267.
  • Proakis, J., Digital Communications, McGraw-Hill, 2000.

Lien externe

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
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