Loi De Bernoulli


Loi De Bernoulli

Loi de Bernoulli

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Bernoulli.

En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité q = 1 − p.

  
f(x) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ 1-p & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut pq = p(1 − p).

Le Kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour p = 1 / 2 la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.

Variable de Bernoulli

Une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli est appelée variable de Bernoulli.

La loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli de la manière suivante : 1 pour "succès", 0 pour "échec", ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une épreuve de Bernoulli.

Plus généralement, toute application mesurable à valeur dans {0,1} est une variable de Bernoulli. Autrement dit, toute fonction indicatrice mesurable suit la loi de Bernoulli. Réciproquement, pour toute variable de Bernoulli X définie sur (Ω,A,P), on peut trouver un ensemble mesurable B tel que X et la fonction indicatrice de B soient presque sûrement égaux : toute variable de Bernoulli est presque sûrement égale à une fonction indicatrice.

Classiquement, écrire une variable aléatoire N, comptant un nombre d'évènements dans une situation donnée, comme la somme d'une famille de variables de Bernoulli permet de calculer simplement l'espérance de N, comme étant la somme des paramètres de ces variables de Bernoulli:

\left\{N=\sum_{i\in I} X_i\right\}\quad\Rightarrow\quad\left\{\mathbb{E}[N]=\sum_{i\in I} \mathbb{P}(X_i=1)\right\}.

Cette méthode simplifie aussi le calcul de la variance de N, dans certains cas.

Distributions liées

  • Si X_1,\dots,X_n sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre p, indépendantes et identiquement distribuées, alors leur somme N suit la Loi binomiale :
N = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)


Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
Ce document provient de « Loi de Bernoulli ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Loi De Bernoulli de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Loi de bernoulli — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Bernoulli. Bernoulli Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

  • Loi de Bernoulli — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Bernoulli. Bernoulli Paramètres (nombre réel) Support …   Wikipédia en Français

  • Loi de Bernouilli — Loi de Bernoulli Pour les articles homonymes, voir Théorème de Bernoulli. Bernoulli Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

  • Loi De Probabilité — Une loi de probabilité ou distribution de probabilité a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d apparition des résultats d un phénomène aléatoire. Dans le dernier quart du XXe siècle, on a largement étendu le concept… …   Wikipédia en Français

  • Loi de probabilite — Loi de probabilité Une loi de probabilité ou distribution de probabilité a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d apparition des résultats d un phénomène aléatoire. Dans le dernier quart du XXe siècle, on a largement …   Wikipédia en Français

  • Loi Binomiale — Binomiale Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

  • Loi binômiale — Loi binomiale Binomiale Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

  • Loi Des Grands Nombres — En statistiques, la loi des grands nombres indique que lorsque l on fait un tirage aléatoire dans une série de grande taille, plus on augmente la taille de l échantillon, plus les caractéristiques statistiques de l échantillon se rapprochent des… …   Wikipédia en Français

  • Loi faible des grands nombres — Loi des grands nombres En statistiques, la loi des grands nombres indique que lorsque l on fait un tirage aléatoire dans une série de grande taille, plus on augmente la taille de l échantillon, plus les caractéristiques statistiques de l… …   Wikipédia en Français

  • Loi log-normale — Densité de probabilité / Fonction de masse μ=0 Fonction de répartition μ=0 …   Wikipédia en Français


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.