Lemme de Cesàro

 Ne pas confondre avec le théorème de Cesàro sur la probabilité que deux nombres entiers soient premiers entre eux.

En analyse réelle ou complexe, la moyenne de Cesàro d'une suite (a_n) est la suite obtenue en effectuant la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite.

Le nom de Cesàro provient du mathématicien italien Ernesto Cesàro.

Le théorème de Cesàro ou lemme de Cesàro précise que, lorsque la suite (a_n) a une limite, la moyenne de Cesàro possède la même limite.

Il existe cependant des cas où la suite (a_n) ne converge pas et où la moyenne de Cesàro est, elle, convergente. C'est cette propriété qui justifie l'utilisation de la moyenne de Cesàro comme procédé de sommation de série divergente.

Moyenne de Cesàro

Soit une suite $\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$. Alors la moyenne de Cesàro est la suite de terme général :

$c_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}$

Le terme d'indice n est ainsi la moyenne arithmétique des n premiers termes de (a_n).

Lemme de Cesàro

Suites convergentes

Théorème de Cesàro —  Soit $(a_n)_{n\in\N^*}$ une suite de nombres réels ou complexes. Si elle converge vers $\ell$, alors la suite des moyennes de Cesàro, de terme général

$c_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k$

converge également, et sa limite est $\ell$.

Démonstration — Comme (a_n) a pour limite $\ell$, on a

$\forall \varepsilon >0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N \Rightarrow |a_n-\ell|\leq \frac{\varepsilon}{2}$

Pour $n \geq N$ on a donc

$\begin{align}\left|\frac1n\sum_{k=1}^na_k-\ell\right| &\le\frac1n\sum_{k=1}^N|a_k-\ell|+\frac1n\sum_{k=N+1}^n|a_k-\ell|\\ &\le\frac1nS_N+\frac{n-N}n\frac\varepsilon2\\ &\le\frac1nS_N+\frac\varepsilon2\end{align}$

avec

$S_N=\sum_{k=1}^N |a_k-\ell|$

qui ne dépend pas de n. Donc il existe $N'\in \N$ tel que pour tout $n \geq N'$

$\frac1nS_N\le\frac\varepsilon2.$

Donc pour $n \geq \max(N,N')$ on a

$\left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k - \ell \right| \leq 2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

donc la suite (c_n) converge bien vers $\ell$.

Limite infinie

Si la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ est une suite de réels ayant pour limite $+ \infty$ ou $- \infty$, il en est de même de la suite de ses moyennes de Cesàro.

Démonstration — La démonstration est analogue pour des suites dont la limite est $+ \infty$ ou $- \infty$. On considère donc une suite réelle (a_n) dont la limite est $+ \infty$.

Donc pour tout réel A, il existe un entier N non nul tel que pour tout k > N , a_k > A + 1.

On considère alors la moyenne de Cesàro, pour tout n > N:

$c_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^N a_k + \frac{1}{n}\sum_{k=N+1}^n a_k > \frac{1}{n}\sum_{k=1}^N a_k + \frac{n-N}{n} (A+1)$

$c_n> A+1 - \frac Nn (A+1) + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^N a_k$

$c_n> A+1 + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^N (a_k-A-1)$

Pour N fixé, la quantité$\sum_{k=1}^N (a_k-A-1)$ est constante et $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^N (a_k-A-1)$ converge vers 0. Il existe donc un entier N' tel que , pour tout n > N'

$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^N (a_k-A-1) > -1$

Donc pour tout n plus grand que N et N' on a c_n > A, ce qui prouve que la suite (c_n) a bien pour limite $+ \infty$.

Suites divergentes

La réciproque du lemme de Cesàro est fausse : il existe des suites divergentes pour lesquelles la moyenne de Cesàro converge. C'est par exemple le cas de la suite périodique

$s_n=(1,0,1,0,1,\ldots)$

divergente mais qui a pour moyenne de Cesàro 1/2

Application aux séries divergentes

Exemple de la série de Grandi

La série de Grandi est la série associée à la suite

$u_n = (-1)^n\,$

dont les sommes partielles sont

$s_n= 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots\, + (-1)^{n-1}$

La série de Grandi est divergente mais la moyenne de Cesàro des sommes partielles converge vers 1/2 (voir plus haut)

On associe alors à la série de Grandi la somme S = 1 / 2.

Euler proposa le résultat 1/2 avec une autre méthode : si l'on suppose que la somme est bien définie, notons-la S, alors

$S=1-1+1-1+\cdots$

donc

$S-1=-1+1-1+\cdots=-S$

et donc

$S=\frac{1}{2}$

Le point non prouvé est alors l'existence de S, i.e. la pertinence des calculs menés. L'enjeu du travail sur les séries divergentes consiste justement à montrer que la valeur attribuée a un sens mathématique (par exemple, qu'elle ne dépend pas de la méthode employée).

Utilisations

Une utilisation notable de la moyenne de Cesàro est faite dans le cadre des séries de Fourier. Les sommes de Fejér sont les moyennes de Cesàro des sommes partielles de la série de Fourier. Pour la série de Fourier, les théorèmes de convergence sont délicats. Au contraire les sommes de Fejér vérifient des résultats de convergence très forts, décrits par le théorème de Fejér.

Le produit de Cauchy de deux séries convergentes est une série convergente pour le procédé de sommation de Cesàro.

La moyenne de Cesàro est un procédé de sommation de séries divergentes particulièrement appliqué dans la théorie des séries de Dirichlet^[1].

Généralisation

Il existe plusieurs généralisations de la moyenne de Cesàro, au travers du théorème de Stolz-Cesàro et de la moyenne de Riesz. Le procédé de Cesàro est souvent appelé moyenne (C,1). Pour chaque entier k, il existe une moyenne de Cesàro d'ordre k permettent de sommer des séries divergentes que les procédés (C, n) ne somment pas pour n < k.

Il existe beaucoup d'autres procédés de sommation^[2],[3],[4], comme le procédé de Borel.

Notes et références

1. ↑ (en) Hardy et Riesz, The general theory of Dirichlet's series
2. ↑ (en) Hardy, Divergent series ou Mémorial des sciences mathématiques^{[réf. incomplète]}
3. ↑ Zamansky, La sommation des séries divergentes, Paris, Gauthier-Villars, 1956
4. ↑ Kogbetlianz (en), Sommation des séries et intégrales divergentes par les moyennes arithmétiques et typiques

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