Analyse de concepts formels

L'analyse de concepts formels (en anglais Formal Concept Analysis, FCA) s'attache à étudier les concepts lorsqu'ils sont décrits formellement, c'est-à-dire que le contexte et les concepts sont complètement et précisément définis. Elle a été introduite par Rudolf Wille en 1982^[1] en tant qu'application de la théorie des treillis (voir treillis de Galois). Rappelons qu'un concept peut-être défini par son intension et son extension : l'extension est l'ensemble des objets qui appartiennent au concept tandis que l'intention est l'ensemble des attributs partagé par ces objets.

Définitions

Un contexte est un triplet (G,M,I) où G et M sont des ensembles et $I\subseteq G\times M$. Les éléments de G sont appelés les objets et ceux de M les attributs. L'ensemble de couple I est considéré comme une relation et est donc noté gIm au lieu de $(g,m)\in I$ ce qui se dit : « l'objet g possède l'attribut m». Les lettres G et M proviennent de l'allemand Gegenstände et Merkmale.

On définit les opérateurs de dérivation pour $A\subseteq G$ et $B\subseteq M$ par $A'=\{m\in M | \forall g\in A \cdot gIm\}$ et $B'=\{g\in G | \forall m\in B \cdot gIm\}$. L'ensemble A' est l'ensemble des attributs partagés par tous les objets de A et l'ensemble B' est l'ensemble des objets qui possèdent tous les attribut de B.

Un concept du contexte (G,M,I) est un couple (A,B) où $A\subseteq G$ et $B\subseteq M$ qui vérifie A' = B et B' = A. Pour un concept (A,B), on dit que A est son extension et B son intension.

On définit un ordre (partiel) sur les concepts par $(A_1,B_1) \leq (A_2,B_2) \Leftrightarrow A_1\subseteq A_2 (\Leftrightarrow B_2\subseteq B_1)$.

On peut utiliser les opérateurs de dérivation pour construire un concept à partir d'un ensemble d'objets X ou d'attributs Y en considérant les concepts (X'',X') et (Y',Y'') respectivement. En particulier pour un objet g on appelle γg le concept objet ({g}'',{g}') et pour un attribut m on appelle μm le concept attribut ({m}',{m}'').

Références

1. ↑ Wille, R. (1982) Restructuring lattice theory: an approach based on hierarchies of concepts. In: Rival, I. (ed.) Ordered Sets.445-470. Dordrecht-Boston, Reidel.

Bibliographie

(en) Bernhard Ganter, Gerd Stumme et Rudolf Wille (en), Formal Concept Analysis, Berlin, Springer Verlag, 2005 (ISBN 978-3-540-27891-7) (LCCN 2005929194)