Alternativité

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre générale, la propriété d'alternativité peut concerner les lois de composition internes, spécialement la multiplication de certaines algèbres. C'est une propriété moins forte que l'associativité et, pour les algèbres, plus forte que l'associativité des puissances.

Définition

Un magma M est dit alternatif à gauche si (xx)y = x(xy) pour tous x et y dans M et alternatif à droite si y(xx) = (yx)x pour tous x et y dans M.

Il est dit alternatif s'il est à la fois alternatif à gauche et alternatif à droite.

Propriétés

Tout demi-groupe (c'est-à-dire tout magma associatif) est clairement alternatif. La réciproque est fausse : l'algèbre des octonions est alternative mais non associative.

Plus généralement, pour qu'un magma M soit alternatif, il suffit que tout sous-magma de M engendré par deux éléments soit associatif.

Pour un magma quelconque, cette condition suffisante n'est pas nécessaire (un magma alternatif peut même ne pas être associatif des puissances).[réf. souhaitée]

Pour une algèbre, cette condition suffisante est aussi nécessaire, d'après un théorème d'Artin[1]. Un corollaire est que toute algèbre alternative (en) est associative des puissances, mais la réciproque est fausse : les sédénions forment une algèbre associative des puissances, bien que non alternative.

Toute algèbre alternative est flexible, c'est-à-dire[2] vérifie l'identité (xy)x = x(yx). Des arguments élémentaires sur l'alternativité de l'associateur permettent de prouver directement ce cas particulier du théorème d'Artin[2] et même, de démontrer que si une algèbre A vérifie deux des trois conditions suivantes, alors elle vérifie la troisième :

A est alternative à gauche,
A est alternative à droite,
A est flexible.

Notes et références

  1. (Schafer) p. 29-30
  2. a et b (Schafer) p. 27-28

(en) Richard D. Schafer, An introduction to nonassociative algebras, Dover, 1995 (ISBN 978-0-48668813-8) [lire en ligne], p. 27-30 


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