Alternativite

Alternativité

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre générale, la propriété d'alternativité peut concerner les lois de composition internes, spécialement la multiplication de certaines algèbres. Elle gère alors le développement des calculs.

Définition

Un magma est appelé alternatif si le sous-magma généré par tout couple de ses éléments est associatif.

Une définition équivalente requiert, pour que le magma (A,.) soit alternatif, que, pour tous x et y éléments de A, on ait x(xy) = (xx)y et (xy)y = x(yy). L'équivalence de ces deux définitions est établie par le théorème d'Artin.

Propriétés

On déduit notamment que, pour tout couple (x,y) d'éléments d'un magma alternatif, l'identité (xy)x = x(yx) est vérifiée.

Tout magma associatif est clairement alternatif, mais il existe quelques magmas non-associatifs qui possèdent également cette propriété, par exemple les octonions. Les sédénions, qui constituent un ensemble plus vaste, ne possèdent plus cette propriété.

L'alternativité est donc une propriété moins forte que l'associativité mais plus forte que l'associativité des puissances.

Voir aussi

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