Isometrie affine

Isométrie affine

Une isométrie affine est une transformation bijective d'un espace affine euclidien dans un autre qui conserve les distances. On généralise cette notion aux tranformations bijectives d'un espace métrique dans un autre qui conservent les distances.

Si cette isométrie conserve aussi les angles orientés, alors ils s'agit d'un déplacement. Si elle inverse les angles orientés, il s'agit d'un antidéplacement.

Isométries planes remarquables

On désigne par $\mathcal{P}$ le plan (i.e., plus précisément, un plan affine réel euclidien orienté). Les applications suivantes sont des isométries de $\mathcal{P}$:

• Étant donné un vecteur $\vec{u}$ l'application qui, à tout point A, associe le point A' tel que $\vec{AA'}=\vec{u}$: c'est la translation de vecteur $\vec{u}$. Sa réciproque est la translation de vecteur $-\vec{u}$. Elle n'a aucun point fixe, sauf si $\vec{u}=\vec{0}$, auquel cas c'est l'identité. Les translations sont des déplacements.
• Étant donnée une droite Δ l'application qui, à tout point A, associe le point A' tel que $\vec{AA'}=2\vec{AH}$, où H est le projeté orthogonal de A sur Δ: c'est la réflexion d'axe Δ. On peut la définir autrement: A' = A si $A \in \Delta$ et, si $A \notin \Delta$, A' est tel que Δ est la médiatrice de [AA']. Les réflexions sont involutives et sont des antidéplacements.
• Étant donné un point A de $\mathcal{P}$ et un réel θ l'application qui fixe A et, à un point B distinct de A, associe l'unique point B' tel que AB = AB' et une mesure de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AB'})$ est θ: c'est la rotation de centre A et d'angle θ. La réciproque de la rotation de centre A et d'angle θ est la rotation de centre A et d'angle − θ. Enfin, les rotations sont des déplacements.

Classification des isométries planes ayant un point fixe

• Une isométrie du plan ayant trois points fixes non alignés est l'identité.
• Une isométrie du plan autre que l'identité ayant au moins deux points fixes A et B est la réflexion par rapport à la droite (AB).
• Une isométrie du plan ayant un unique point fixe A est une rotation de centre A.

Démonstration

• Soit f une isométrie plane autre que l'identité. Soit M un point du plan et M' = f(M) tel que $M' \neq M$. Un point fixe A de f vérifie MA = M'A donc est sur la médiatrice de [MM']: les points fixes sont donc alignés. Par contraposée, si f a trois points fixes non alignés, c'est l'identité.
• Soit f une isométrie plane autre que l'identité ayant au moins deux points fixes A et B et s la réflexion par rapport à la droite (AB). Soit C un point n'appartenant pas à (AB). Alors son image C' par f vérifie CA = C'A et CB = C'B donc C' appartient à l'intersection de deux cercles de centres respectifs A et B. Cette intersection a au plus deux points et C' est différent de C (sinon f aurait trois points fixes non alignés et serait l'identité, ce qui est exclu par hypothèse) donc C et C' sont les deux points d'intersection respectifs de ces cercles (rappelons que deux cercles de centres distincts ont au plus deux points en commun). Comme CA = C'A et CB = C'B, A et B sont sur la médiatrice de [CC']; par définition, on a donc s(C') = C. Comme s(A) = A et s(B) = B, $s \circ f$ a trois points fixes non alignés (à savoir A, B et C), donc $s \circ f=Id$. On a donc f = s ^{− 1}, i.e. f = s (car les réflexions sont involutives. f est donc la réflexion par rapport à la droite (AB).
• Si f possède un unique point fixe A: soit B un point distinct de A et B' = f(B). On a alors $B' \neq B$. Soit Δ la médiatrice de [BB'] et s la réflexion par rapport à la droite Δ. D'une part, BA = B'A, donc $A \in \Delta$ et s(A) = A; d'autre part, s(B') = B. L'application $s \circ f$ possède donc au moints deux points fixes: A et B. $s \circ f$ est donc soit l'identité soit une réflexion. On ne peut avoir $s \circ f=Id$, car sinon f=s aurait une infinité de points fixes (tous les points de Δ). $s \circ f$ est donc une réflexion s' par rapport à une droite passant par A (car s(f(A)) = A). On a donc $f=s \circ s'$ et f est donc une rotation car composée de deux réflexions d'axes sécants.

En dimension quelconque

Pour étudier les isométries affines en dimension quelconque, on s'intéresse à l'automorphisme orthogonal φ associé défini de la sorte : si $f : \begin{array}[t]{lcl}\mathcal{E} &\rightarrow & \mathcal{E} \\ M & \mapsto & f(M) \end{array}$ est une isométrie affine de $\mathcal{E}$, alors son automorphisme orthogonal associé est $\phi : \begin{array}[t]{lcl}E &\rightarrow & E \\ \overrightarrow{MN} & \mapsto & \overrightarrow{f(M)f(N)} \end{array}$ Dès lors l'étude des points fixes de f et de φ permet de conclure sur la nature de f.

• Si f admet des points fixes alors :

si φ est une rotation vectorielle alors f sera un vissage.

si φ est l'identité vectorielle alors f sera une translation.

• Si f n'admet pas de points fixes alors f se décompose de manière unique comme composée d'une isométrie affine avec points fixes (on revient donc au cas précédent) et d'une translation de vecteurs dans la direction des points fixes de l'isométrie précédente.

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